Dạng 5. Bài toán liên quan đến độ dài, diện tích

Ghi nhớ một số công thức về khoảng cách

• Khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm
• Nếu \[A\left( a;0 \right)\in Ox\] thì \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| a \right|\].
• Nếu \[B\left( 0;b \right)\in Oy\] thì \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| b \right|\].
• Khoảng cách giữa hai điểm trên cùng một trục Ox hoặc Oy
• Nếu \[A,B\in Ox\] (hoặc AB//Ox) thì \[AB=\left| {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right|\].
• Nếu \[M,N\in Oy\] (hoặc MN//Oy) thì \[MN=\left| {{y}_{M}}-{{y}_{N}} \right|\].
• Khoảng cách giữa hai điểm \[A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\], \[B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\] bất kỳ (công thức này cần chứng minh khi sử dụng)

\[AH=\left| {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right|\].

\[BH=\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|\].

\[AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}}\].

• Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Cho parabol \[(P):y=\frac{{{x}^{2}}}{2}\] và đường thẳng \[d:y=mx-m+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] nằm về hai phía của trục tung sao cho \[\frac{{{S}_{\Delta KOA}}}{{{S}_{\Delta KOB}}}=2\] (K là giao điểm của d với Oy).

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[\frac{{{x}^{2}}}{2}=mx-m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m-2=0\]. (∗)

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (∗) có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] trái dấu \[\Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow 2m-2<0\Leftrightarrow m<1\].

Giả sử \[{{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m-2 \\ \end{array} \right.\].

Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của A và B trên Oy \[\Rightarrow AH=\left| {{x}_{1}} \right|\]; \[BI=\left| {{x}_{2}} \right|\].

Hai \[\Delta KOA\] và \[\Delta KOB\] có chung đáy OK nên tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao.

Theo đề bài, ta có \[\frac{{{S}_{\Delta KOA}}}{{{S}_{\Delta KOB}}}=2\Leftrightarrow \frac{\left| {{x}_{1}} \right|}{\left| {{x}_{2}} \right|}=2\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=2\left| {{x}_{2}} \right|\].

Mặt khác \[{{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\Rightarrow -{{x}_{1}}=2{{x}_{2}}\].

Giải hệ \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ -{{x}_{1}}=2{{x}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}=4m \\ {{x}_{2}}=-2m \\ \end{array} \right.\] thay vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-2\] ta được

\[4m.\left( -2m \right)=2m-2\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+m-1=0\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{m}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{17}}{8} \\ {{m}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{17}}{8} \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[m\in \left\{ \frac{-1+\sqrt{17}}{8};\frac{-1-\sqrt{17}}{8} \right\}\] là giá trị cần tìm.