• Bài tập tự luyện dạng 4

Câu 1.

Cho parabol \[(P):y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2x-m+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)=-48\].

Câu 2.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=\left( 2m+1 \right)x-2m\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] sao cho biểu thức \[M={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2mx-{{m}^{2}}+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] thỏa mãn \[{{y}_{1}}-{{y}_{2}}>4\].

Câu 4.

Cho parabol \[(P):y=-{{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2x+m-1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}{{y}_{1}}-{{x}_{2}}{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-4\].

Dạng 4. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, liên quan đến tung độ

Câu 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[\frac{1}{2}{{x}^{2}}=2x-m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+2m-2=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left( -2 \right)}^{2}}-1.\left( 2m-2 \right)=4-2m+2=6-2m\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow 6-2m>0\Leftrightarrow m<3\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=4 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m-2 \\ \end{array} \right.\].

Vì \[A,B\in \left( P \right):y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{1}}=\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}\]; \[{{y}_{2}}=\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}\].

Do đó \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)=-48\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( \frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2} \right)+48=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+96=0\].

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-2\], ta được

\[\left( 2m-2 \right)\left[ 16-2\left( 2m-2 \right) \right]+96=0\Leftrightarrow \left( 2m-2 \right)\left( 20-4m \right)+96=0\]

\[\Leftrightarrow -8{{m}^{2}}+48m-40+96=0\Leftrightarrow -8{{m}^{2}}+48m+56=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=-1 \\ m=7 \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện \[m<3\] ta được \[m=-1\].

Vậy \[m=-1\] là giá trị cần tìm.

Câu 2.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=\left( 2m+1 \right)x-2m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+2m=0\]. (∗)

\[\Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4.2m=4{{m}^{2}}+4m+1-8m=4{{m}^{2}}-4m+1={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{2}\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m+1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m \\ \end{array} \right.\].

Vì \[A,B\in \left( P \right):y={{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}^{2}\]; \[{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{2}\].

Do đó \[M={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\].

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+1\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m\] vào M, ta được

\[M=4{{m}^{2}}+4m+1-6m=4{{m}^{2}}-2m+1=\left( 4{{m}^{2}}-2m+\frac{1}{4} \right)+\frac{3}{4}={{\left( 2m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\]

\[\Rightarrow MinM=\frac{3}{4}\] khi \[m=\frac{1}{4}\] (thỏa mãn \[m\ne \frac{1}{2}\]). Vậy \[m=\frac{1}{4}\] là giá trị cần tìm.

Câu 3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2mx-{{m}^{2}}+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=1>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.

Do \[{\Delta }’=1\] nên hai nghiệm của phương trình (∗) là \[x=m\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & x=m-1 \\ x=m+1 \\ \end{array} \right.\].

Trường hợp 1: Xét \[{{x}_{1}}=m-1\]; \[{{x}_{2}}=m+1\]\[\Rightarrow {{y}_{1}}={{\left( m-1 \right)}^{2}}\]; \[{{y}_{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}\].

Do đó \[{{y}_{1}}-{{y}_{2}}>4\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-{{\left( m+1 \right)}^{2}}>4\Leftrightarrow -4m>4\Leftrightarrow m<-1\].

Trường hợp 2: Xét \[{{x}_{1}}=m+1\]; \[{{x}_{2}}=m-1\]\[\Rightarrow {{y}_{1}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}\]; \[{{y}_{2}}={{\left( m-1 \right)}^{2}}\].

Do đó \[{{y}_{1}}-{{y}_{2}}>4\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-{{\left( m-1 \right)}^{2}}>4\Leftrightarrow 4m>4\Leftrightarrow m>1\].

Vậy \[m>1\] hoặc \[m<-1\] là giá trị cần tìm.

Câu 4.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[-{{x}^{2}}=2x+m-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+m-1=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{1}^{2}}-1.\left( m-1 \right)=2-m\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow 2-m>0\Leftrightarrow m<2\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-2 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m-1 \\ \end{array} \right.\].

Vì \[A,B\in \left( P \right):y=-{{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{1}}=-{{x}_{1}}^{2}\]; \[{{y}_{2}}=-{{x}_{2}}^{2}\].

Do đó \[{{x}_{1}}{{y}_{1}}-{{x}_{2}}{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-4\Leftrightarrow -{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-4\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4\].

\[\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4\]

\[\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1\] vào (∗∗) ta được

\[\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( -2 \right)}^{2}}-m+1 \right]+m-1=4\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 5-m \right)+m-5=0\]

\[\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}-1 \right)\left( 5-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=5 \\ {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.\].

Mà \[m<2\] nên loại \[m=5\].

Khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=1 \\ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}=-\frac{1}{2} \\ {{x}_{2}}=-\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\].

Thay \[{{x}_{1}}=-\frac{1}{2}\]; \[{{x}_{2}}=-\frac{3}{2}\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1\], ta được \[\frac{3}{4}=m-1\Leftrightarrow m=\frac{7}{4}\] (thỏa mãn).

Vậy \[m=\frac{7}{4}\] là giá trị cần tìm.