Cách tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, liên quan đến tung độ

Dạng 4. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, liên quan đến tung độ

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=x-m+3\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] thỏa mãn \[{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d (P) ta có

\[{{x}^{2}}=x-m+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m-3=0\]. (∗)

\[\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.1.\left( m-3 \right)=1-4m+12=13-4m\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 13-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{13}{4}\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m-3 \\ \end{array} \right.\].

Vì \[A,B\in (P):y=a{{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}^{2}\]; \[{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{2}\].

Do đó \[{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\]

\[\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=0\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-3\] vào (∗∗), ta được

\[{{1}^{2}}-2\left( m-3 \right)-3.1=0\Leftrightarrow -2m+4=0\Leftrightarrow 2m=4\Leftrightarrow m=2\] (thỏa mãn).

Vậy \[m=2\] là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=mx+3\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] thỏa mãn \[{{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}>25\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d (P) ta có

\[{{x}^{2}}=mx+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-3=0\].

\[\Delta ={{\left( -m \right)}^{2}}-4.1.\left( -3 \right)={{m}^{2}}+12>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-3 \\ \end{array} \right.\].

Vì \[A,B\in (P):y={{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}^{2}\]; \[{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{2}\].

Do đó, \[{{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}>25\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}>25\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}>25\]. (∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3\] vào (∗), ta được

\[{{m}^{2}}-3.\left( -3 \right)>25\Leftrightarrow {{m}^{2}}+9>25\Leftrightarrow {{m}^{2}}>16\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m>4 \\ m<-4 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[\left[ \begin{array} & m>4 \\ m<-4 \\ \end{array} \right.\] là giá trị cần tìm.

Viết một bình luận