Dạng 4. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, liên quan đến tung độ

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=x-m+3\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] thỏa mãn \[{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=x-m+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m-3=0\]. (∗)

\[\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.1.\left( m-3 \right)=1-4m+12=13-4m\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 13-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{13}{4}\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m-3 \\ \end{array} \right.\].

Vì \[A,B\in (P):y=a{{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}^{2}\]; \[{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{2}\].

Do đó \[{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\]

\[\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=0\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-3\] vào (∗∗), ta được

\[{{1}^{2}}-2\left( m-3 \right)-3.1=0\Leftrightarrow -2m+4=0\Leftrightarrow 2m=4\Leftrightarrow m=2\] (thỏa mãn).

Vậy \[m=2\] là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=mx+3\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] thỏa mãn \[{{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}>25\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=mx+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-3=0\].

\[\Delta ={{\left( -m \right)}^{2}}-4.1.\left( -3 \right)={{m}^{2}}+12>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-3 \\ \end{array} \right.\].

Vì \[A,B\in (P):y={{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}^{2}\]; \[{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{2}\].

Do đó, \[{{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}>25\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}>25\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}>25\]. (∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3\] vào (∗), ta được

\[{{m}^{2}}-3.\left( -3 \right)>25\Leftrightarrow {{m}^{2}}+9>25\Leftrightarrow {{m}^{2}}>16\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m>4 \\ m<-4 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[\left[ \begin{array} & m>4 \\ m<-4 \\ \end{array} \right.\] là giá trị cần tìm.