• Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Cho Parabol \[(P):y=-{{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=-mx-2\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=3\].

Câu 2.

Cho Parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=6x-m+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[{{x}_{2}}^{2}={{x}_{1}}+6\].

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Cho Parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2\left( m+1 \right)x+3\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[\left| 2{{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=5\].

Câu 4.

Cho Parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d & :y=2\left( m-1 \right)x-{{m}^{2}}+2m+3\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}+1=\sqrt{{{x}_{2}}}\].

Câu 5.

Cho Parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=\left( m-3 \right)x-m+4\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.

Dạng 3. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức không đối xứng

Câu 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có \[-{{x}^{2}}=-mx-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-2=0\]. (∗)

\[\Delta ={{\left( -m \right)}^{2}}-4.1.\left( -2 \right)={{m}^{2}}+8>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-2 \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện đề bài, ta có hệ \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{2}}=3-m \\ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{2}}=3-m \\ {{x}_{1}}=2m-3 \\ \end{array} \right.\].

Thay \[{{x}_{1}}=2m-3\]; \[{{x}_{2}}=3-m\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2\] ta được

\[\left( 2m-3 \right)\left( 3-m \right)=-2\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+9m-9=-2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-9m+7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=1 \\ m=\frac{7}{2} \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[m\in \left\{ 1;\frac{7}{2} \right\}\] là giá trị cần tìm.

Câu 2.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có \[{{x}^{2}}=6x-m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+m-1=0\] (∗)

\[{\Delta }’={{\left( -3 \right)}^{2}}-1.\left( m-1 \right)=9-m+1=10-m\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow 10-m>0\Leftrightarrow m<10\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=6 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m-1 \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện đề bài, ta có hệ \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6 \\ {{x}_{2}}^{2}={{x}_{1}}+6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}-12=0 \\ {{x}_{1}}={{x}_{2}}^{2}-6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \left[ \begin{array} & {{x}_{2}}=3 \\ {{x}_{2}}=-4 \\ \end{array} \right. \\ {{x}_{1}}={{x}_{2}}^{2}-6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & \left\{ \begin{array} & {{x}_{2}}=3 \\ {{x}_{1}}=3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array} & {{x}_{2}}=-4 \\ {{x}_{1}}=10 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\].

Trường hợp 1: Thay \[{{x}_{1}}=3\]; \[{{x}_{2}}=3\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1\] ta được \[9=m-1\Leftrightarrow m=10\] (loại).

Trường hợp 2: Thay \[{{x}_{1}}=10\]; \[{{x}_{2}}=-4\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1\] ta được \[-40=m-1\Leftrightarrow m=-39\] (thỏa mãn).

Vậy \[m=-39\] là giá trị cần tìm.

Câu 3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2\left( m+1 \right)x+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x-3=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m+1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( -3 \right)={{\left( m+1 \right)}^{2}}+3>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m+2 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-3 \\ \end{array} \right.\].

Vì \[a.c=-3<0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] trái dấu.

Trường hợp 1: \[{{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=-{{x}_{1}}\], \[\left| {{x}_{2}} \right|={{x}_{2}}\].

Ta có \[\left| 2{{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=5\Leftrightarrow -2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5\].

Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & -2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \\ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 3{{x}_{1}}=2m-3 \\ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}=\frac{2m-3}{3} \\ {{x}_{2}}=\frac{4m+9}{3} \\ \end{array} \right.\].

Thay \[{{x}_{1}}=\frac{2m-3}{3}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{4m+9}{3}\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3\] ta được

\[\frac{2m-3}{3}.\frac{4m+9}{3}=-3\Leftrightarrow \left( 2m-3 \right)\left( 4m+9 \right)=-27\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+6m-27=-27\]

\[\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+6m=0\Leftrightarrow m\left( 8m+6 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=0 \\ m=-\frac{3}{4} \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Trường hợp 2: \[{{x}_{2}}<0<{{x}_{1}}\Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|={{x}_{1}}\]; \[\left| {{x}_{2}} \right|=-{{x}_{2}}\].

Ta có \[2\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=5\Leftrightarrow 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=5\].

Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=5 \\ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 3{{x}_{1}}=2m+7 \\ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}=\frac{2m+7}{3} \\ {{x}_{2}}=\frac{4m-1}{3} \\ \end{array} \right.\].

Thay \[{{x}_{1}}=\frac{2m+7}{3}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{4m-1}{3}\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3\] ta được

\[\frac{2m+7}{3}.\frac{4m-1}{3}=-3\Leftrightarrow \left( 2m+7 \right)\left( 4m-1 \right)=-27\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+26m-7=-27\]

\[\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+26m+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=-2 \\ m=-\frac{5}{4} \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[m\in \left\{ -2;-\frac{5}{4};-\frac{3}{4};0 \right\}\] là giá trị cần tìm.

Câu 4.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x-{{m}^{2}}+2m+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-2m-3=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-2m-3 \right)={{m}^{2}}-2m+1-{{m}^{2}}+2m+3=4>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Vì \[{\Delta }’=4\] nên hai nghiệm của phương trình (∗) là \[x=\frac{m-1\pm \sqrt{4}}{1}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & x=m+1 \\ x=m-3 \\ \end{array} \right.\].

Trường hợp 1: Xét \[{{x}_{1}}=m+1\], \[{{x}_{2}}=m-3\left( m\ge 3 \right)\] thay vào \[{{x}_{1}}+1=\sqrt{{{x}_{2}}}\] ta được

\[m+2=\sqrt{m-3}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m+2\ge 0 \\ {{\left( m+2 \right)}^{2}}=m-3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m\ge -2 \\ m{{\,}^{2}}+4m+4=m-3 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m\ge -2 \\ m{{\,}^{2}}+3m+7=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m\ge -2 \\ {{\left( m+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\frac{19}{4}=0 \\ \end{array} \right.\] (loại).

Trường hợp 2: Xét \[{{x}_{1}}=m-3\], \[{{x}_{2}}=m+1\left( m\ge -1 \right)\] thay vào \[{{x}_{1}}+1=\sqrt{{{x}_{2}}}\] ta được

\[m-2=\sqrt{m+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m-2\ge 0 \\ {{\left( m-2 \right)}^{2}}=m+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m\ge 2 \\ {{m}^{2}}-4m+4=m+1 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m\ge 2 \\ {{m}^{2}}-5m+3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m\ge 2 \\ \left\{ \begin{array} & m=\frac{5+\sqrt{13}}{2} \\ m=\frac{5-\sqrt{13}}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\] (thỏa mãn \[m\ge -1\]).

Vậy \[m=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\] là giá trị cần tìm.

Câu 5.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=\left( m-3 \right)x-m+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x+m-4=0\]. (∗)

Phương trình (∗) có \[a+b+c=1-m+3+m-4=0\] nên phương trình có hai nghiệm \[x=1\]; \[x=m-4\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Leftrightarrow 1\ne m-4\Leftrightarrow m\ne 5\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=m-3 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m-4 \\ \end{array} \right.\].

Do \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh của một tam giác nên \[{{x}_{1}}>0\]; \[{{x}_{2}}>0\].

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & m-3>0 \\ m-4>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>4\].

Do \[{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\] nên \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân.

Giả sử \[{{x}_{1}}\] là độ dài cạnh huyền, \[{{x}_{2}}\] là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Py-ta-go ta có

\[{{x}_{1}}^{2}={{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\Leftrightarrow {{x}_{1}}=\sqrt{2}{{x}_{2}}\].

Trường hợp 1: Xét \[{{x}_{1}}=1\]; \[{{x}_{2}}=m-4\], thay vào \[{{x}_{1}}=\sqrt{2}{{x}_{2}}\] ta được

\[1=\sqrt{2}\left( m-4 \right)\Leftrightarrow m=\frac{8+\sqrt{2}}{2}\] (thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét \[{{x}_{1}}=m-4\]; \[{{x}_{2}}=1\], thay vào \[{{x}_{1}}=\sqrt{2}{{x}_{2}}\] ta được

\[m-4=\sqrt{2}.1\Leftrightarrow m=\sqrt{2}+4\] (thỏa mãn).

Vậy \[m\in \left\{ \frac{8+\sqrt{2}}{2};\sqrt{2}+4 \right\}\] là giá trị cần tìm.