Dạng 3. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức không đối xứng

• Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P). Bước 2. Tìm điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Bước 3. Áp dụng định lí Vi-ét tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm sau đó thực hiện một trong hai cách sau Cách 1. Kết hợp điều kiện của bài toán với \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\] để giải \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] theo tham số rồi thay \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] vừa giải được vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\]. Cách 2. Nếu tính \[\Delta \] hoặc \[{\Delta }’\] mà ra một biểu thức bình phương thì ta tìm hai nghiệm đó và phải xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Xét \[{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\]. Trường hợp 2: Xét \[{{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\].

Ví dụ: Cho Parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2mx-{{m}^{2}}+4\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=3\]. Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có \[{{x}^{2}}=2mx-{{m}^{2}}+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-4=0\]. (∗) \[\Leftrightarrow {\Delta }’={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-4 \right)={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+4=4>0\], \[\forall m\]. Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m. Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}={{m}^{2}}-4 \\ \end{array} \right.\]. Kết hợp với điều kiện \[{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=3\] ta được \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{2}}=3-2m \\ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{2}}=3-2m \\ {{x}_{1}}=4m-3 \\ \end{array} \right.\]. Thay \[{{x}_{1}}=4m-3\]; \[{{x}_{2}}=3-2m\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-4\] ta được \[\left( 4m-3 \right)\left( 3-2m \right)={{m}^{2}}-4\] \[\Leftrightarrow 18m-8{{m}^{2}}-9={{m}^{2}}-4\] \[\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-18m+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=\frac{5}{3} \\ m=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\](thỏa mãn). Vậy \[m\in \left\{ \frac{1}{3};\frac{5}{3} \right\}\] là giá trị cần tìm.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=x-m-1\]. Tìm m để d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{2}}=7\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=x-m-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m+1=0\]. (∗)

\[\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.1.\left( m+1 \right)=1-4m-4=-4m-3\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow -4m-3>0\Leftrightarrow m<-\frac{3}{4}\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m+1 \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{2}}=7\], ta được hệ \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1~~~~~~~~~~~~~~~~\left( 1 \right) \\ {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{2}}=7\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\]

Từ (1) \[\Rightarrow {{x}_{2}}=1-{{x}_{1}}\], thay vào (2) ta được

\[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}\left( 1-{{x}_{1}} \right)+3\left( 1-{{x}_{1}} \right)=7\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}-{{x}_{1}}^{2}+3-3{{x}_{1}}=7\]

\[\Leftrightarrow 2{{x}_{1}}=-4\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-2\Rightarrow {{x}_{2}}=3\].

Thay \[{{x}_{1}}=-2\], \[{{x}_{2}}=3\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+1\] ta được

\[\left( -2 \right).3=m+1\Leftrightarrow m+1=-6\Leftrightarrow m=-7\] (thỏa mãn).

Vậy \[m=-7\] là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2.

Cho parabol \[(P):y=2{{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=\left( m+1 \right)x-m+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[\left| {{x}_{1}} \right|-2\left| {{x}_{2}} \right|=5\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[2{{x}^{2}}=\left( m+1 \right)x-m+1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m-1=0\]. (∗)

Phương trình (∗) có \[a+b+c=2-\left( m+1 \right)+m-1=0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}=1\]; \[{{x}_{2}}=\frac{m-1}{2}\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Leftrightarrow 1\ne \frac{m-1}{2}\Leftrightarrow m\ne 3\].

Trường hợp 1: \[{{x}_{1}}=1\]; \[{{x}_{2}}=\frac{m-1}{2}\] ta có

\[\left| {{x}_{1}} \right|-2\left| {{x}_{2}} \right|=5\Leftrightarrow 1-\left| m-1 \right|=5\Leftrightarrow \left| m-1 \right|=-4\] (loại).

Trường hợp 2: \[{{x}_{1}}=\frac{m-1}{2}\]; \[{{x}_{2}}=1\] ta có

\[\left| {{x}_{1}} \right|-2\left| {{x}_{2}} \right|=5\Leftrightarrow \frac{\left| m-1 \right|}{2}-2.1=5\Leftrightarrow \left| m-1 \right|=14\]

\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m-1=14 \\ m-1=-14 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=15 \\ m=-13 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[m\in \left\{ -13;15 \right\}\] là giá trị cần tìm.