• Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d & :y=mx+2\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] sao cho \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=14\].

Câu 2:

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2\left( m-2 \right)x-4m+13\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] sao cho biểu thức \[A={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2018\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3:

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2\left( m-1 \right)x-2m+5\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] sao cho biểu thức \[A=4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}\] đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập nâng cao

Câu 4:

Cho Parabol \[(P):y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\] và \[d:y=mx+2m-2\]. Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1\].

Câu 5:

Cho Parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và \[d:y=\left( 2m+1 \right)x-2m\]. Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[\left| {{x}_{1}} \right|-\left| {{x}_{2}} \right|=2\].

Câu 6:

Cho \[(P):y={{x}^{2}}\] và \[d:y=2\left( m-1 \right)x+3-2m\]. Tìm m để d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng \[\sqrt{10}\].

Dạng 2. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức đối xứng

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có \[{{x}^{2}}=mx+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-2=0\]. (∗)

\[\Delta ={{\left( -m \right)}^{2}}-4.1.\left( -2 \right)={{m}^{2}}+8>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-2 \\ \end{array} \right.\].

Theo bài ra \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=14\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}}=14\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2\] vào (∗∗) ta được

\[{{m}^{2}}-5\left( -2 \right)=14\Leftrightarrow {{m}^{2}}+10=14\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2\] (thỏa mãn).

Vậy \[m=\pm 2\] là giá trị cần tìm.

Câu 2.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2\left( m-2 \right)x-4m+13\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+4m-13=0\].

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m-2 \right) \right]}^{2}}-1.\left( 4m-13 \right)={{m}^{2}}-4m+4-4m+13={{m}^{2}}-8m+17={{\left( m-4 \right)}^{2}}+1>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m-4 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=4m-13 \\ \end{array} \right.\].

Theo bài ra \[A={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2018={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2018\].

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-4\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4m-13\] vào biểu thức A ta được

\[A={{\left( 2m-4 \right)}^{2}}+2\left( 4m-13 \right)+2018=4{{m}^{2}}-16m+16+8m-26+2018\]

\[=4{{m}^{2}}-8m+2008=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}+2004\ge 2004\], \[\forall m\].

Vậy \[{{A}_{\min }}=2004\] khi \[m-1=0\Leftrightarrow m=1\].

Câu 3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x-2m+5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-5=0\].

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( 2m-5 \right)={{m}^{2}}-2m+1-2m+5={{m}^{2}}-4m+6={{\left( m-2 \right)}^{2}}+2>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m-2 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m-5 \\ \end{array} \right.\].

Theo bài ra \[A=4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}\].

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-5\] vào biểu thức A ta được

\[A=6\left( 2m-5 \right)-{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}=12m-30-4{{m}^{2}}+8m-4=-4{{m}^{2}}+20m-34\]

\[=-4\left( {{m}^{2}}-5m+\frac{17}{2} \right)=-4\left[ {{\left( m-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{9}{4} \right]=-4{{\left( m-\frac{5}{2} \right)}^{2}}-9\le -9\], \[\forall m\].

Vậy \[{{A}_{\max }}=-9\] khi \[m-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2}\].

Bài tập nâng cao

Câu 4.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[-\frac{1}{2}{{x}^{2}}=mx+2m-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+4m-4=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{m}^{2}}-1.\left( 4m-4 \right)={{m}^{2}}-4m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 2\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=4m-4 \\ \end{array} \right.\].

Theo bài ra \[\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1\Leftrightarrow {{\left( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1=0\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2m\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4m-4\] vào (∗∗) ta được

\[{{\left( -2m \right)}^{2}}-4\left( 4m-4 \right)-1=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=\frac{5}{2} \\ m=\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[m\in \left\{ \frac{3}{2};\frac{5}{2} \right\}\] là giá trị cần tìm.

Câu 5.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=\left( 2m+1 \right)x-2m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+2m=0\]. (∗)

\[\Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4.2m=4{{m}^{2}}+4m+1-8m=4{{m}^{2}}-4m+1={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{2}\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m+1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m \\ \end{array} \right.\].

Theo bài ra \[\left| {{x}_{1}} \right|-\left| {{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( \left| {{x}_{1}} \right|-\left| {{x}_{2}} \right| \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=4\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+1\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m\] vào (∗∗) ta được

\[{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-2.2m-2\left| 2m \right|=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m+1-4m-4\left| m \right|-4=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left| m \right|-3=0\]. (1)

Trường hợp 1: Nếu \[m\ge 0\] thì \[\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=-\frac{1}{2} \\ m=\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp điều kiện \[\left\{ \begin{array} & m\ne \frac{1}{2} \\ m\ge 0 \\ \end{array} \right.\] ta được \[m=\frac{3}{2}\].

Trường hợp 2: Nếu \[m<0\] thì \[\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=-\frac{3}{2} \\ m=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp điều kiện \[m<0\] ta được \[m=-\frac{3}{2}\].

Vậy \[m\in \left\{ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right\}\] là giá trị cần tìm.

Câu 6.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là

\[{{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x+3-2m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-3=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( 2m-3 \right)={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2m+3={{m}^{2}}-4m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 2\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m-2 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m-3 \\ \end{array} \right.\].

Do \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên \[{{x}_{1}}>0\], \[{{x}_{2}}>0\].

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 2m-2>0 \\ 2m-3>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>\frac{3}{2}\].

Do \[{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\] và tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng \[\sqrt{10}\] nên theo định lí Py-ta-go ta có

\[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\].

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2\], \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-3\] vào \[{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10\] ta được

\[{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)=10\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-12m+10=10\Leftrightarrow 4m\left( m-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=0 \\ m=3 \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện \[m>\frac{3}{2}\]ta được \[m=3\].

Vậy \[m=3\] là giá trị cần tìm.