Dạng 2. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức đối xứng

• Phương pháp giải

Giả sử đường thẳng \[d:y=mx+n\] và parabol là \[(P):y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)\]. Ta thực hiện theo các bước sau Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) \[a{{x}^{2}}=mx+n\Leftrightarrow a{{x}^{2}}-mx-n=0\]. (∗) Bước 2. d và (P) cắt tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \Delta >0\] (hoặc \[{\Delta }’>0\]). Bước 3. Biến đổi biểu thức đối xứng với \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] về dạng tổng \[{{x}_{A}}+{{x}_{B}}\]; tích \[{{x}_{A}}.{{x}_{B}}\] rồi sử dụng định lí Vi-ét với \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] là hai nghiệm của phương trình (∗).

Ví dụ: Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2mx-2m+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=2\]. Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có \[{{x}^{2}}=2mx-2m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m-1=0\]. (∗) \[{\Delta }’={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\]. Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1\]. Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m-1 \\ \end{array} \right.\]. Theo bài ra \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2\]. (∗∗) Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1\] vào (∗∗) ta được \[{{\left( 2m \right)}^{2}}-2.\left( 2m-1 \right)=2\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+2=2\] \[\Leftrightarrow 4m\left( m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=0 \\ m=1 \\ \end{array} \right.\]. Kết hợp với điều kiện \[m\ne 1\] ta được \[m=0\]. Vậy \[m=0\] là giá trị cần tìm.

Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ

• Hai điểm A và B nằm cùng một phía trục Oy khi \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] cùng dấu.
• Hai điểm A và B nằm bên phải trục Oy khi \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] cùng dương.
• Hai điểm A và B nằm bên trái trục Oy khi \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] cùng âm.
• Hai điểm A và B nằm về hai phía trục Oy khi \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] trái dấu.

Công thức tính \[{{y}_{A}}\] theo \[{{x}_{A}}\] và tính \[{{y}_{B}}\] theo \[{{x}_{B}}\]

Cách 1. Tính theo (P): vì \[A,B\in (P):y=a{{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{A}}=a{{x}_{A}}^{2}\]; \[{{y}_{B}}=a{{x}_{B}}^{2}\].

Cách 2. Tính theo d: vì \[A,B\in d_y=mx+n\] nên \[{{y}_{A}}=m{{x}_{A}}+n\]; \[{{y}_{B}}=m{{x}_{B}}+n\].

Giả sử: \[{{x}_{A}}={{x}_{1}}\]; \[{{x}_{B}}={{x}_{2}}\].

• \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\].
• \[\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\] thì xét \[{{\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\].
• \[\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|\] thì xét

\[{{\left( \left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right| \right)}^{2}}={{\left| {{x}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{x}_{2}} \right|}^{2}}+2\left| {{x}_{1}} \right|\left| {{x}_{2}} \right|={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\].

• \[\sqrt{{{x}_{1}}}\], \[\sqrt{{{x}_{2}}}\] thì cần thêm điều kiện phụ \[{{x}_{1}}\ge 0\]; \[{{x}_{2}}\ge 0\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\ge 0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\ge 0 \\ \end{array} \right.\].
• \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh tam giác ta cần thêm điều kiện phụ \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}>0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}>0 \\ \end{array} \right.\].
• Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng 0.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho Parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và \[d:y=\left( 2m+3 \right)x+2m+4\]. Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn\[\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=5\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=\left( 2m+3 \right)x+2m+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x-2m-4=0\]. (∗)

Phương trình (∗) có \[a-b+c=1+\left( 2m+3 \right)-2m-4=0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}=-1\]; \[{{x}_{2}}=2m+4\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Leftrightarrow -1\ne 2m+4\Leftrightarrow m\ne -\frac{5}{2}\].

Theo bài ra \[\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=5\Leftrightarrow 1+\left| 2m+4 \right|=5\Leftrightarrow \left| 2m+4 \right|=4\]

\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & 2m+4=4 \\ 2m+4=-4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=0 \\ m=-4 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn \[m\ne -\frac{5}{2}\]).

Vậy \[m\in \left\{ -4;0 \right\}\] là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2.

Cho \[(P):y={{x}^{2}}\] và \[d:y=2\left( m+1 \right)x-2m\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \[\sqrt{12}\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2\left( m+1 \right)x-2m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2m=0\]

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m+1 \right) \right]}^{2}}-1.2m={{m}^{2}}+2m+1-2m={{m}^{2}}+1>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m+2 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m \\ \end{array} \right.\].

Do \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên \[{{x}_{1}}>0\], \[{{x}_{2}}>0\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 2m+2>0 \\ 2m>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>0\].

Mặt khác hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \[\sqrt{12}\] nên theo định lí Py-ta-go ta có \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=12\].

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m\] vào \[{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=12\] ta được

\[{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-2.2m=12\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m+4-4m=12\]

\[\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m-8=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=1 \\ m=-2 \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện \[m>0\] ta được \[m=1\].

Vậy \[m=1\] là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2mx-m+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=2\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2mx-m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+m-1=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( m-1 \right)={{m}^{2}}-m+1={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m-1 \\ \end{array} \right.\].

Để tồn tại \[\sqrt{{{x}_{1}}}\]; \[\sqrt{{{x}_{2}}}\] cần có \[{{x}_{1}}\ge 0\]; \[{{x}_{2}}\ge 0\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\ge 0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 2m\ge 0 \\ m-1\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1\].

Khi đó \[\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=2\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=4\]

\[\Leftrightarrow 2m+2\sqrt{m-1}=4\Leftrightarrow \sqrt{m-1}=2-m\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 2-m\ge 0 \\ m-1={{m}^{2}}-4m+4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 1\le m\le 2 \\ {{m}^{2}}-5m+5=0 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 1\le m\le 2 \\ \left[ \begin{array} & m=\frac{5+\sqrt{5}}{2} \\ m=\frac{5-\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\].

Vậy \[m=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\] là giá trị cần tìm.