Cách tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức đối xứng

Dạng 2. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức đối xứng

  • Phương pháp giải

Giả sử đường thẳng \[d:y=mx+n\] và parabol là \[(P):y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)\]. Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d(P)

\[a{{x}^{2}}=mx+n\Leftrightarrow a{{x}^{2}}-mx-n=0\]. (∗)

Bước 2. d(P) cắt tại hai điểm phân biệt AB khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \Delta >0\] (hoặc \[{\Delta }’>0\]).

Bước 3. Biến đổi biểu thức đối xứng với \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] về dạng tổng \[{{x}_{A}}+{{x}_{B}}\]; tích \[{{x}_{A}}.{{x}_{B}}\] rồi sử dụng định lí Vi-ét với \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] là hai nghiệm của phương trình (∗).

Ví dụ:

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2mx-2m+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=2\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d(P) ta có

\[{{x}^{2}}=2mx-2m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m-1=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m-1 \\ \end{array} \right.\].

Theo bài ra

\[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1\] vào (∗∗) ta được \[{{\left( 2m \right)}^{2}}-2.\left( 2m-1 \right)=2\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+2=2\]

\[\Leftrightarrow 4m\left( m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=0 \\ m=1 \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện \[m\ne 1\] ta được \[m=0\].

Vậy \[m=0\] là giá trị cần tìm.

Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ

  • Hai điểm AB nằm cùng một phía trục Oy khi \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] cùng dấu.
  • Hai điểm AB nằm bên phải trục Oy khi \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] cùng dương.
  • Hai điểm AB nằm bên trái trục Oy khi \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] cùng âm.
  • Hai điểm AB nằm về hai phía trục Oy khi \[{{x}_{A}}\], \[{{x}_{B}}\] trái dấu.

Công thức tính \[{{y}_{A}}\] theo \[{{x}_{A}}\] và tính \[{{y}_{B}}\] theo \[{{x}_{B}}\]

Cách 1. Tính theo (P): vì \[A,B\in (P):y=a{{x}^{2}}\] nên \[{{y}_{A}}=a{{x}_{A}}^{2}\]; \[{{y}_{B}}=a{{x}_{B}}^{2}\].

Cách 2. Tính theo d: vì \[A,B\in d_y=mx+n\] nên \[{{y}_{A}}=m{{x}_{A}}+n\]; \[{{y}_{B}}=m{{x}_{B}}+n\].

Giả sử: \[{{x}_{A}}={{x}_{1}}\]; \[{{x}_{B}}={{x}_{2}}\].

  • \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\].
  • \[\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\] thì xét \[{{\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\].
  • \[\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|\] thì xét

\[{{\left( \left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right| \right)}^{2}}={{\left| {{x}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{x}_{2}} \right|}^{2}}+2\left| {{x}_{1}} \right|\left| {{x}_{2}} \right|={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\].

  • \[\sqrt{{{x}_{1}}}\], \[\sqrt{{{x}_{2}}}\] thì cần thêm điều kiện phụ \[{{x}_{1}}\ge 0\]; \[{{x}_{2}}\ge 0\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\ge 0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\ge 0 \\ \end{array} \right.\].
  • \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh tam giác ta cần thêm điều kiện phụ \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}>0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}>0 \\ \end{array} \right.\].
  • Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng 0.
  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho Parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và \[d:y=\left( 2m+3 \right)x+2m+4\]. Tìm m để (P)d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn\[\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=5\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d (P) ta có

\[{{x}^{2}}=\left( 2m+3 \right)x+2m+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x-2m-4=0\]. (∗)

Phương trình (∗) có \[a-b+c=1+\left( 2m+3 \right)-2m-4=0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}=-1\]; \[{{x}_{2}}=2m+4\].

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Leftrightarrow -1\ne 2m+4\Leftrightarrow m\ne -\frac{5}{2}\].

Theo bài ra \[\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=5\Leftrightarrow 1+\left| 2m+4 \right|=5\Leftrightarrow \left| 2m+4 \right|=4\]

\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & 2m+4=4 \\ 2m+4=-4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=0 \\ m=-4 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn \[m\ne -\frac{5}{2}\]).

Vậy \[m\in \left\{ -4;0 \right\}\] là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2.

Cho \[(P):y={{x}^{2}}\] và \[d:y=2\left( m+1 \right)x-2m\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \[\sqrt{12}\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d(P) ta có

\[{{x}^{2}}=2\left( m+1 \right)x-2m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2m=0\]

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m+1 \right) \right]}^{2}}-1.2m={{m}^{2}}+2m+1-2m={{m}^{2}}+1>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m+2 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=2m \\ \end{array} \right.\].

Do \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên \[{{x}_{1}}>0\], \[{{x}_{2}}>0\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 2m+2>0 \\ 2m>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>0\].

Mặt khác hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \[\sqrt{12}\] nên theo định lí Py-ta-go ta có \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=12\].

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m\] vào \[{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=12\] ta được

\[{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-2.2m=12\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m+4-4m=12\]

\[\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m-8=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=1 \\ m=-2 \\ \end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện \[m>0\] ta được \[m=1\].

Vậy \[m=1\] là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2mx-m+1\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=2\].

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d(P) ta có

\[{{x}^{2}}=2mx-m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+m-1=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( m-1 \right)={{m}^{2}}-m+1={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m-1 \\ \end{array} \right.\].

Để tồn tại \[\sqrt{{{x}_{1}}}\]; \[\sqrt{{{x}_{2}}}\] cần có \[{{x}_{1}}\ge 0\]; \[{{x}_{2}}\ge 0\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\ge 0 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 2m\ge 0 \\ m-1\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 1\].

Khi đó \[\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=2\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=4\]

\[\Leftrightarrow 2m+2\sqrt{m-1}=4\Leftrightarrow \sqrt{m-1}=2-m\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 2-m\ge 0 \\ m-1={{m}^{2}}-4m+4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 1\le m\le 2 \\ {{m}^{2}}-5m+5=0 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 1\le m\le 2 \\ \left[ \begin{array} & m=\frac{5+\sqrt{5}}{2} \\ m=\frac{5-\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\].

Vậy \[m=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\] là giá trị cần tìm.

Viết một bình luận