• Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1:

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2\left( m+3 \right)x-{{m}^{2}}-3\]. Tìm m để d tiếp xúc với (P). Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.

Câu 2:

Cho parabol và đường thẳng \[(d):y=2x+3m\]. Tìm các giá trị của m để (d) và (P) tiếp xúc nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.

Dạng 1. Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm

Câu 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2\left( m+3 \right)x-{{m}^{2}}-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)x+{{m}^{2}}+3=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m+3 \right) \right]}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}+3 \right)={{m}^{2}}+6m+9-{{m}^{2}}-3=6m+6\].

Để d tiếp xúc với (P) thì phương trình (∗) có nghiệm kép khi và chỉ khi \[{\Delta }’=0\Leftrightarrow 6m+6=0\Leftrightarrow m=-1\].

Thay \[m=-1\] vào phương trình (∗), ta được

\[{{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y={{2}^{2}}=4\].

Vậy \[m=-1\] thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là \[B\left( 2;4 \right)\].

Câu 2.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2x+3m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3m=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left( -1 \right)}^{2}}-1.\left( -3m \right)=1+3m\].

Để d tiếp xúc với (P) thì phương trình (∗) có nghiệm kép khi và chỉ khi \[{\Delta }’=0\Leftrightarrow 1+3m=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{3}\].

Thay \[m=-\frac{1}{3}\] vào phương trình (∗), ta được

\[{{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y={{1}^{2}}=1\].

Vậy \[m=-\frac{1}{3}\] thì d tiếp xúc với (P) và