Dạng 1. Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm

Giả sử đường thẳng là \[d:y=mx+n\] và parabol là \[(P):y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)\].

Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P)

\[a{{x}^{2}}=mx+n\Leftrightarrow a{{x}^{2}}-mx-n=0\](∗)

Bước 2. Lập luận để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép

\[\Leftrightarrow \Delta =0\](hoặc \[{\Delta }’=0\]) thì tìm được tham số.

Bước 3. Thay giá trị tham số tìm được vào phương trình (∗) ta tìm được x, thay x vừa tìm được vào \[y=a{{x}^{2}}\] hoặc \[y=mx+n\] thì tìm được y và kết luận.

Ví dụ:

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\]và đường thẳng \[d:y=x+m\]. Tìm m để d và (P) tiếp xúc nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-m=0\]. (∗)

Có \[\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.1.\left( -m \right)=1+4m\].

d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép

\[\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow 1+4m=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{4}\].

Với \[m=-\frac{1}{4}\], thay vào (∗) ta được

\[{{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{4}\].

Vậy với \[m=-\frac{1}{4}\] thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là \[A\left( \frac{1}{2};\frac{1}{4} \right)\].