II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm
-
Phương pháp giải
Giả sử đường thẳng là \[d:y=mx+n\] và parabol là \[(P):y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)\]. Ta thực hiện theo các bước sau Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) \[a{{x}^{2}}=mx+n\Leftrightarrow a{{x}^{2}}-mx-n=0\](∗) Bước 2. Lập luận để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép \[\Leftrightarrow \Delta =0\](hoặc \[{\Delta }’=0\]) thì tìm được tham số. Bước 3. Thay giá trị tham số tìm được vào phương trình (∗) ta tìm được x, thay x vừa tìm được vào \[y=a{{x}^{2}}\] hoặc \[y=mx+n\] thì tìm được y và kết luận. |
Ví dụ:Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\]và đường thẳng \[d:y=x+m\]. Tìm m để d và (P) tiếp xúc nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm. Hướng dẫn giảiXét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có \[{{x}^{2}}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-m=0\]. (∗) Có \[\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.1.\left( -m \right)=1+4m\]. d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép \[\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow 1+4m=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{4}\]. Với \[m=-\frac{1}{4}\], thay vào (∗) ta được \[{{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{4}\]. Vậy với \[m=-\frac{1}{4}\] thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là \[A\left( \frac{1}{2};\frac{1}{4} \right)\]. |
-
Ví dụ mẫu
Ví dụ.
Cho parabol \[(P):y=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=mx-2m-1\]. Tìm giá trị của m sao cho d tiếp xúc với (P). Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm giữa (P) và (d).
Hướng dẫn giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
\[-\frac{1}{4}{{x}^{2}}=mx-2m-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4mx-8m-4=0\]. (∗)
Phương trình (∗) có \[{\Delta }’={{\left( 2m \right)}^{2}}-1.\left( -8m-4 \right)=4{{m}^{2}}+8m+4=4{{\left( m+1 \right)}^{2}}\].
Để d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép
\[\Leftrightarrow {\Delta }’=0\Leftrightarrow 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\].
Thay \[m=-1\] vào (∗), ta được
\[{{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=-\frac{1}{4}{{.2}^{2}}=-1\].
Vậy với \[m=-1\] thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là \[A\left( 2;-1 \right)\].