Cách tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm

  • Phương pháp giải

Giả sử đường thẳng là \[d:y=mx+n\] và parabol là \[(P):y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)\].

Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d(P)

\[a{{x}^{2}}=mx+n\Leftrightarrow a{{x}^{2}}-mx-n=0\](∗)

Bước 2. Lập luận để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép

\[\Leftrightarrow \Delta =0\](hoặc \[{\Delta }’=0\]) thì tìm được tham số.

Bước 3. Thay giá trị tham số tìm được vào phương trình (∗) ta tìm được x, thay x vừa tìm được vào \[y=a{{x}^{2}}\] hoặc \[y=mx+n\] thì tìm được y và kết luận.

Ví dụ:

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\]và đường thẳng \[d:y=x+m\]. Tìm m để d(P) tiếp xúc nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d(P) ta có

\[{{x}^{2}}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-m=0\]. (∗)

Có \[\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.1.\left( -m \right)=1+4m\].

d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép

\[\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow 1+4m=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{4}\].

Với \[m=-\frac{1}{4}\], thay vào (∗) ta được

\[{{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{4}\].

Vậy với \[m=-\frac{1}{4}\] thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là \[A\left( \frac{1}{2};\frac{1}{4} \right)\].

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Cho parabol \[(P):y=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=mx-2m-1\]. Tìm giá trị của m sao cho d tiếp xúc với (P). Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm giữa (P)(d).

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d(P) ta có

\[-\frac{1}{4}{{x}^{2}}=mx-2m-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4mx-8m-4=0\]. (∗)

Phương trình (∗) có \[{\Delta }’={{\left( 2m \right)}^{2}}-1.\left( -8m-4 \right)=4{{m}^{2}}+8m+4=4{{\left( m+1 \right)}^{2}}\].

Để d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép

\[\Leftrightarrow {\Delta }’=0\Leftrightarrow 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\].

Thay \[m=-1\] vào (∗), ta được

\[{{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=-\frac{1}{4}{{.2}^{2}}=-1\].

Vậy với \[m=-1\] thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là \[A\left( 2;-1 \right)\].

Viết một bình luận