• Bài tập tự luyện dạng 5

Câu 1:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 34 mét và một đường chéo bằng 13 mét. Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất đó theo đơn vị là mét.

Câu 2:

Một tam giác có chiều cao bằng \[\frac{3}{4}\] cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm \[12\ d{{m}^{2}}\]. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

Câu 3:

Một mảnh vườn hình chữ nhật trước đây có chu vi là 136 m. Nay người ta mở rộng chiều dài thêm 5 m, chiều rộng thêm 3 m, do đó diện tích mảnh vườn tăng thêm \[255\ {{m}^{2}}\]. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc đầu.

Câu 4:

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích là \[720\ {{m}^{2}}\]. Nếu tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều rộng 6 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn.

Dạng 5. Toán có nội dung hình học

Câu 1:

Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là \[\frac{34}{2}=17\] (m).

Gọi chiều dài mảnh đất đó là x (m). Điều kiện: \[0<x<17\]

Chiều rộng mảnh đất là \[17-x\] (m)

Vì độ dài đường chéo bằng 13 m nên theo định lí Pytago ta có phương trình:

\[{{x}^{2}}+{{\left( 17-x \right)}^{2}}={{13}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+289-34x+{{x}^{2}}=169\Leftrightarrow {{x}^{2}}-17x+60=0\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=12\] (thỏa mãn), \[{{x}_{2}}=5\] (loại vì chiều dài nhỏ hơn chiều rộng).

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là 12 m và 5 m.

Câu 2:

Gọi độ dài chiều cao của tam giác là x (dm). Điều kiện: \[x>0\].

Độ dài cạnh đáy của tam giác là \[\frac{4}{3}x\] (dm).

Diện tích của tam giác ban đầu là \[\frac{1}{2}.x.\frac{4}{3}x=\frac{4}{6}{{x}^{2}}\ \left( d{{m}^{2}} \right)\].

Độ dài chiều cao của tam giác sau khi tăng thêm 3 dm là \[x+3\] (dm).

Độ dài cạnh đáy của tam giác sau khi giảm 3 dm là \[\frac{4}{3}x-3\] (dm).

Diện tích của tam giác sau khi thay đổi kích thước là \[\frac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( \frac{4}{3}x-3 \right)\ \ \left( d{{m}^{2}} \right)\]

Vì diện tích của tam giác tăng thêm \[12\ d{{m}^{2}}\] nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( \frac{4}{3}x-3 \right)=12+\frac{4}{6}{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{4}{6}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}=12+\frac{4}{6}{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=\frac{33}{2}\Leftrightarrow x=33\] (thỏa mãn).

Vậy độ dài chiều cao tam giác là 33 dm; độ dài cạnh đáy là 44 dm.

Câu 3:

Nửa chu vi lúc đầu của mảnh vườn là \[\frac{136}{2}=68\] (m).

Gọi chiều dài mảnh vườn là x (m). Điều kiện \[0<x<68\]

Chiều rộng mảnh vườn là \[68-x\] (m).

Diện tích ban đầu của mảnh vườn là \[x\left( 68-x \right)\ \ \left( {{m}^{2}} \right)\]

Chiều dài của mảnh vườn sau khi tăng thêm 5 m là \[x+5\] (m).

Chiều rộng của mảnh vườn sau khi tăng thêm 3 m là \[71-x\] (m).

Diện tích của mảnh vườn sau khi thay đổi kích thước là \[\left( x+5 \right)\left( 71-x \right)\ \left( {{m}^{2}} \right)\]

Vì diện tích mảnh vườn tăng thêm \[255\ {{m}^{2}}\], nên ta có phương trình:

\[\left( x+5 \right)\left( 71-x \right)=x\left( 68-x \right)+255\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+66x+355=68x-{{x}^{2}}+255\Leftrightarrow 2x=100\Leftrightarrow x=50\] (thỏa mãn).

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 50 m và 18 m.

Câu 4:

Gọi chiều dài mảnh đất là x (m). Điều kiện \[x>0\]

Chiều rộng mảnh đất là \[\frac{720}{x}\] (m).

Chiều dài của mảnh đất khi tăng thêm 10 m là \[x+10\] (m).

Chiều rộng của mảnh đất khi giảm đi 6 m là \[\frac{720}{x}-6\] (m)

Vì diện tích mảnh đất không đổi, nên ta có phương trình:

\[\left( x+10 \right)\left( \frac{720}{x}-6 \right)=720\Leftrightarrow \left( x+10 \right)\left( 720-6x \right)=720x\Leftrightarrow -6{{x}^{2}}+660x+7200=720x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10x-1200=0\]Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=40\] (thỏa mãn), \[{{x}_{2}}=-30\] (loại).

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là 40 m và 18 m.