• Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Nếu hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì bể đầy sau 2 giờ 24 phút. Nếu mỗi vòi chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao nhiêu giờ thì đầy bể.

Câu 2:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 7 giờ 12 phút đầy bể. Nếu để mỗi vòi chảy riêng mà đầy bể thì tổng thời gian là 30 giờ. Hãy tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Câu 3:

Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành công việc.

Câu 4:

Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 4 giờ 48 phút thì xong. Nếu họ làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 4 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người cần bao nhiêu giờ để xong công việc đó.

Dạng 4. Toán công việc làm chung, riêng

Câu 1:

Đổi 2 giờ 24 phút \[=\frac{12}{5}\] giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ). Điều kiện: \[x>\frac{12}{5}\]

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là \[x+2\] (giờ).

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{x+2}\] (bể).

Một giờ cả hai vòi chảy được \[1:\frac{12}{5}=\frac{5}{12}\] bể nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{5}{12}\Leftrightarrow \frac{2x+2}{x\left( x+2 \right)}=\frac{5}{12}\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+10x=24x+24\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-14x-24=0\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=4\] (thỏa mãn), \[{{x}_{2}}=-\frac{6}{5}\] (loại).

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 4 (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 6 (giờ).

Câu 2:

Đổi 7 giờ 12 phút \[=\frac{36}{5}\] giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ). Điều kiện: \[\frac{36}{5}<0<30\]

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là \[30-x\] (giờ).

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{30-x}\] (bể).

Một giờ cả hai vòi chảy được \[1:\frac{36}{5}=\frac{5}{36}\] bể nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{30-x}=\frac{5}{36}\Leftrightarrow \frac{30}{x\left( 30-x \right)}=\frac{5}{36}\Leftrightarrow 150x-5{{x}^{2}}=1080\Leftrightarrow {{x}^{2}}-30x+216=0\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=18\] (thỏa mãn), \[{{x}_{2}}=12\] (thỏa mãn).

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 18 (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 12 (giờ) hoặc ngược lại.

Câu 3:

Gọi thời gian lớp 9A hoàn thành công việc là x (giờ). Điều kiện: \[x>6\]

Thời gian lớp 9B hoàn thành xong công việc là \[x-5\] (giờ).

Trong 1 giờ, lớp 9A làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Trong 1 giờ, lớp 9B làm được \[\frac{1}{x-5}\] (công việc).

Một giờ cả hai lớp làm được \[\frac{1}{6}\] công việc, nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}\Leftrightarrow \frac{2x-5}{x\left( x-5 \right)}=\frac{1}{6}\Rightarrow {{x}^{2}}-5x=12x-30\Leftrightarrow {{x}^{2}}-17x+30=0\].

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=15\] (thỏa mãn), \[{{x}_{2}}=2\] (loại).

Vậy thời gian lớp 9A hoàn thành công việc trong 15 giờ và thời gian lớp 9B hoàn thành công việc trong 10 giờ.

Câu 4:

Đổi 4 giờ 48 phút \[=\frac{24}{5}\] giờ.

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ). Điều kiện: \[x>\frac{24}{5}\]

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là \[x+4\] (giờ).

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được \[\frac{1}{x+4}\] (công việc).

Một giờ cả hai người làm được \[1:\frac{24}{5}=\frac{5}{24}\] công việc, nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{5}{24}\Leftrightarrow \frac{2x+4}{x\left( x+4 \right)}=\frac{5}{24}\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+20x=48x+96\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-28x-96=0\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=8\] (thỏa mãn), \[{{x}_{2}}=-\frac{12}{5}\] (loại).

Vậy một mình người thứ nhất làm trong 8 giờ thì xong công việc, một mình người thứ hai làm trong 12 giờ thì xong công việc.