• Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 12. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 16. Tìm số đã cho.

Câu 2:

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Câu 3:

Tìm hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn số thứ hai là 5 đơn vị và tổng các bình phương của chúng bằng 125.

Câu 4:

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 9. Nếu bớt tử số đi 1 đơn vị và bớt mẫu số đi 1 đơn vị sẽ được phân số mới là nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số

Câu 1:

Gọi chữ số hàng chục là \[x\left( x\in {{\mathbb{N}}^{*}},0<x\le 9 \right)\]. Chữ số hàng đơn vị là \[12-x\]

Giá trị của số đã cho là \[10x+\left( 12-x \right)\]

Vì tích của hai chữ số nhỏ hơn số đã cho là 16 nên ta có phương trình:

\[x\left( 12-x \right)=10x+\left( 12-x \right)-16\Leftrightarrow 12x-{{x}^{2}}=9x-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-4=0\]

Có \[a-b+c=1+3-4=0\] nên phương trình có nghiệm là \[{{x}_{1}}=-1\] (loại); \[{{x}_{2}}=4\] (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là 48.

Câu 2:

Gọi số tự nhiên nhỏ là \[x,x\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]. Khi đó số tự nhiên liền sau là \[x+1\]

Tích của hai số là \[x\left( x+1 \right)\], tổng của hai số là: \[2x+1\]

Theo bài ra ta có phương trình: \[x\left( x+1 \right)-\left( 2x+1 \right)=109\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-110=0\]

Phương trình có nghiệm là \[{{x}_{1}}=11\] (thỏa mãn) và \[{{x}_{2}}=-10\] (không thỏa mãn).

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Câu 3:

Gọi số thứ nhất là \[x\left( x\in \mathbb{N},x\ge 5 \right)\]. Số thứ hai là \[x-5\]

Vì tổng bình phương hai số là 125, nên ta có phương trình:

\[{{x}^{2}}+{{\left( x-5 \right)}^{2}}=125\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-10x+25 \right)=125\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-10x-100=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x-50=0\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=10\] (thỏa mãn) và \[{{x}_{2}}=-5\] (loại).

Vậy số thứ nhất là 10, số thứ hai là 5.

Câu 4:

Gọi tử số của phân số cần tìm là \[x\left( x\in \mathbb{Z} \right)\]. Mẫu số của phân số cần tìm là \[x+9\]

Phân số cần tìm là \[\frac{x}{x+9}\left( x\ne -9 \right)\]

Khi bớt tử số đi 1 đơn vị và bớt mẫu số đi 1 đơn vị, ta được phân số \[\frac{x-1}{x+8}\] (điều kiện \[x\ne -8\]).

Theo bài ra ta có phương trình:

\[\frac{x}{x+9}=\frac{x+8}{x-1}\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)=\left( x+8 \right)\left( x+9 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x={{x}^{2}}+17x+72\Leftrightarrow 18x=-72\Leftrightarrow x=-4\] (thỏa mãn).

Vậy phân số cần tìm là \[\frac{-4}{5}\].