II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số

• Phương pháp giải

Thực hiện đầy đủ các bước trong giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Sử dụng mối quan hệ giữa các số để ta biểu diễn các đại lượng:

+ Biểu diễn số có hai chữ số: \[\overline{ab}=10a+b\ \left( 0<a\le 9;0\le b\le 9;a,b\in \mathbb{N} \right)\].

+ Biểu diễn số có ba chữ số: \[\overline{abc}=100a+10b+c\ \]với \[0<a\le 9;0\le b,c\le 9;a,b,c\in \mathbb{N}\]

+ Tổng hai số x; y là \[x+y\].

+ Tổng bình phương hai số x; y là: \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\].

+ Bình phương của tổng hai số x; y là: \[{{\left( x+y \right)}^{2}}\].

+ Tổng nghịch đảo hai số x; y là: \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\].

+ Hai số tự nhiên liên tiếp có dạng n và \[n+1\].

+ Phân số có dạng \[\frac{a}{b},b\ne 0\].

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 145.

Hướng dẫn giải

Gọi số bé là \[x\left( x\in \mathbb{N} \right)\]. Số tự nhiên kề sau là \[x+1\]

Vì tổng các bình phương của nó là 145 nên ta có phương trình:

\[{{x}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}=145\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+2x+1=145\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2x-144=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-72=0\]

Vì \[\Delta ={{1}^{2}}-4.1.\left( -72 \right)=289>0\] nên phương trình có hai nghiệm là \[{{x}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{289}}{2}=8\] (thỏa mãn); \[{{x}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{289}}{2}=-9\] (loại).

Vậy hai số phải tìm là 8 và 9.

Ví dụ 2.

Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng của hai chữ số của chúng bằng 10 và tích của hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12.

Hướng dẫn giải

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x, điều kiện: \[x\in {{\mathbb{N}}^{*}},x\le 9\]

Chữ số hàng đơn vị là \[10-x\]

Giá trị của số đã cho là \[10x+10-x=9x+10\]

Theo bài ra, ta có phương trình: \[x\left( 10-x \right)=9x+10-12\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow x=2\] (thỏa mãn) hoặc \[x=-1\] (không thỏa mãn).

Ta có chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 8.

Vậy số cần tìm là 28.