Dạng 7: Giải bài toán liên quan tới tìm số bằng cách lập hệ phương trình

• Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau Bước 1. Lập hệ phương trình. – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số – Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Chú ý: Với \[a,b,c,d…\in \mathbb{N};\,\,a>0\] \[\overline{ab}=a.10+b;\,\,\overline{abc}=a.100+b.10+c\]; \[\overline{abcd}=a.1000+b.100+c.10+d….\] \[\overline{ab0}=10.\overline{ab};\,\,\overline{ab00}=100.\overline{ab};\,\,\overline{ab000}=1000.\overline{ab}….\] Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Hướng dẫn giải Gọi số có hai chữ số là \[\overline{ab}\] \[\left( a,b\in \mathbb{N},\,\,0<a\le 9;\,0\le b\le 9 \right)\]. Ta có \[\overline{ab}=a.10+b\]. Tổng của hai chữ số của nó bằng 11 nên \[a+b=11\]. (1) Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số \[\overline{ba}\], ta có \[\overline{ba}=b.10+a\] Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Suy ra \[\overline{ba}-\overline{ab}=27\] \[\Rightarrow \left( b.10+a \right)-\left( a.10+b \right)=27\] \[\Rightarrow 9b-9a=27\Rightarrow b-a=3.\,\] (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & a+b=11 \\ b-a=3 \\ \end{array} \right.\]. \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & a+b=11 \\ 2b=14 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & a+b=11 \\ b=7 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & a=4 \\ b=7 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện). Vậy số cần tìm là 47.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 lần, số thứ hai tăng thêm 2 lần thì tổng của chúng bằng 44 đơn vị.

Hướng dẫn giải

Gọi hai số cần tìm lần lượt là \[a,b\,\,\left( a,b\in \mathbb{N} \right)\].

Tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị nên \[a+b=17.\] (1)

Số thứ nhất tăng thêm 3 lần, số thứ hai tăng thêm 2 đơn lần thì tổng của chúng bằng 44 đơn vị. Suy ra \[3a+2b=44\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & a+b=17 \\ 3a+2b=44 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 3a+3b=51 \\ 3a+2b=44 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & b=7 \\ a+b=17 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & b=7 \\ a=10 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số thứ nhất là 10 số thứ hai là 7.

Ví dụ 2

. Cho một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số bằng \[\frac{1}{10}\] ban đầu. Hỏi số đã cho ban đầu là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi số có hai chữ số là \[\overline{ab}\,\,\left( a,b\in \mathbb{N},\,\,0<a\le 9;\,0\le b\le 9 \right)\].

Ta có \[\overline{ab}=a.10+b\].

Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 nên \[a-b=5.\] (1)

Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số \[\overline{ba}\].

Ta có \[\overline{ba}=b.10+a\].

Đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số bằng \[\frac{1}{10}\] số ban đầu.

Suy ra \[\overline{ba}=\frac{1}{10}\overline{ab}\Rightarrow b.10+a=\frac{1}{10}\left( a.10+b \right)\Rightarrow 100b+10a=10a+b\]

\[\Rightarrow 100b+10a=10a+b\Rightarrow b=0.\] (2)

Từ (1) ,(2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & a-b=5 \\ b=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & a=5 \\ b=0 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số cần tìm là 50.