Dạng 5: Giải bài toán liên quan tới chảy chung, chảy riêng với vòi nước bằng cách lập hệ phương trình

• Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau Bước 1. Lập hệ phương trình. – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (chọn một trong các đại lượng thời gian chảy đầy bể…). – Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Chú ý: Nếu vòi nước chảy đầy bể trong x giờ thì 1 giờ sẽ chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể). Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ : Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy \[\frac{2}{15}\] bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể? Hướng dẫn giải Đổi 1 giờ 20 phút \[=\frac{4}{3}\] giờ; 10 phút \[=\frac{1}{6}\] giờ; 12 phút = \[\frac{1}{5}\] giờ. Gọi thời gian để mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ); thời gian để mình vòi thứ hai chảy đầy bể là y (giờ) \[\left( x,y>\frac{4}{3} \right)\]. Một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể). Một giờ vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{y}\] (bể). Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy, vậy một giờ hai vòi chảy được \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\] (bể). (1) Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy \[\frac{2}{15}\] bể. Suy ra \[\frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}.\,\,\left( 2 \right)\] Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4} \\ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15} \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4} \\ \frac{5}{6x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3} \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{6x}=\frac{1}{12} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4} \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{4} \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x=2 \\ y=4 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện). Vậy thời gian mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là 2 giờ, thời gian mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 4 giờ.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1

. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được bằng \[\frac{3}{2}\] lượng nước chảy được của vòi II.

Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Hướng dẫn giải

Đối 4 giờ 48 phút \[=\frac{24}{5}\] giờ.

Gọi thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ),

thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là y (giờ) (y > x > 0).

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{y}\] (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy, vậy một giờ hai vòi chảy được

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}\] (bể). (1)

Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được bằng \[\frac{3}{2}\] lượng nước chảy được của vòi II, suy ra \[\frac{1}{x}=\frac{3}{2}.\frac{1}{y}\Rightarrow \frac{1}{x}-\frac{3}{2y}=0.\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24} \\ \frac{1}{x}-\frac{3}{2y}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{5}{2y}=\frac{5}{24} \\ \frac{1}{x}-\frac{3}{2y}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ \frac{1}{x}=\frac{1}{8} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x=8 \\ y=12 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy thời gian mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là 8 giờ, thời gian mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 12 giờ.

Ví dụ 2.

Mở cùng một lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo nước ra khỏi bể thì trong 5 giờ lượng nước trong bể là \[\frac{2}{7}\] bể. Nếu mở vòi nước chảy vào trong 3 giờ và mở vòi tháo trong 2 giờ thì lượng nước trong bể là \[\frac{11}{35}\] bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì vòi thứ nhất đầy bể trong bao lâu và vòi thứ hai tháo hết nước trong bao lâu?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian để mình vòi chảy vào chảy đầy bể là x (giờ),

thời gian để mình vòi chảy ra tháo hết nước ở bể là y (giờ) (y > x > 0).

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể).

Một giờ vòi thứ hai tháo được là \[\frac{1}{y}\] (bể).

Mở cùng một lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo nước ra khỏi bể thì trong 5 giờ lượng nước trong bể là \[\frac{2}{7}\] bể, suy ra \[\frac{5}{x}-\frac{5}{y}=\frac{2}{7}\,\,\left( 1 \right)\].

Mở vòi nước chảy vào trong 3 giờ và mở vòi tháo trong 2 giờ thì lượng nước trong bể là \[\frac{11}{35}\] bể, suy ra \[\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=\frac{11}{35}\,\,\left( 2 \right)\] .

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array} & \frac{5}{x}-\frac{5}{y}=\frac{2}{7} \\ \frac{3}{x}-\frac{2}{y}=\frac{11}{35} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{2}{x}-\frac{2}{y}=\frac{4}{35} \\ \frac{3}{x}-\frac{2}{y}=\frac{11}{35} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}=\frac{7}{35} \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{2}{35} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}=\frac{1}{5} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{7} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x=5 \\ y=7 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể là 5 giờ, thời gian vòi chảy ra tháo hết bể là 7 giờ.