Dạng 4: Giải bài toán liên quan tới làm chung, làm riêng bằng cách lập hệ phương trình

• Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau Bước 1. Lập hệ phương trình. – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (chọn một trong các đại lượng công việc, năng suất, thời gian…. làm ẩn). – Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. \[A=N.t;\,\,N=\frac{A}{t};\,\,t=\frac{A}{N}.\] trong đó A là khối lượng công việc, N là năng suất, t là thời gian hoàn thành công việc. Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm xong được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc? Hướng dẫn giải Đổi \[25%=\frac{1}{4}\]. Gọi thời gian để một mình người thợ thứ nhất làm xong công việc là x (giờ). Thời gian để một mình người thợ thứ hai làm xong công việc là y (giờ) (x, y > 0). Trong một giờ người thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc). Trong một giờ người thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc). Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong, vậy một giờ hai đội làm được là \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\] (công việc). (1) Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm xong được 25% công việc, suy ra \[\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\]. (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16} \\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4} \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{3}{x}+\frac{3}{y}=\frac{3}{16} \\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4} \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{3}{y}=\frac{1}{16} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16} \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{y}=\frac{1}{48} \\ \frac{1}{x}=\frac{1}{24} \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & y=48 \\ x=24 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện). Vậy người thứ nhất làm một mình thì 24 giờ xong công việc. Người thứ hai làm một mình thì 48 giờ xong công việc.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội thứ nhất được điều động làm việc khác, còn đội thứ hai tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội thứ hai đã làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên (với năng suất bình thường)?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian để mình đội xây dựng thứ nhất làm xong công việc là x (ngày).

Thời gian để mình đội xây dựng thứ hai làm xong công việc là y (ngày) (x, y > 0).

Trong một ngày đội xây dựng thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Trong một ngày đội xây dựng thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc).

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, vậy một ngày hai đội làm được \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\] (công việc). (1)

Trong 8 ngày hai đội làm được là \[8.\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)=8.\frac{1}{12}=\frac{2}{3}\] (công việc).

Năng suất của đội hai sau khi cải tiến kĩ thuật \[\frac{2}{y}\] (công việc/ngày).

Công việc mà đội hai làm được trong 3,5 ngày sau khi cải tiến kĩ thuật là \[3,5\frac{2}{y}=\frac{7}{y}\] (công việc/ngày).

Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội thứ nhất được điều động làm việc khác, còn đội thứ hai tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội thứ hai đã làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày, suy ra \[\frac{7}{y}+\frac{2}{3}=1\]. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ \frac{7}{y}+\frac{2}{3}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ \frac{7}{y}=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{y}=\frac{1}{21} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{y}=\frac{1}{21} \\ \frac{1}{x}=\frac{1}{28} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & y=21 \\ x=28 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy đội một làm một mình cần 28 ngày hoàn thành xong công việc, đội hai làm một mình cần 21 ngày hoàn thành xong công việc.

Ví dụ 2.

Hai người làm chung công việc trong 20 ngày sẽ hoàn thành. Sau khi làm chung được 12 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm. Đi được 12 ngày người đó trở về làm tiếp 6 ngày nữa và hoàn thành công việc, trong khi đó người thứ hai nghỉ làm. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian để một mình người thợ thứ nhất làm xong công việc là x (ngày).

Thời gian để một mình người thợ thứ hai làm xong công việc là y (ngày)

Trong một ngày người thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Trong một ngày người thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc).

Hai người cùng làm một công việc trong 20 ngày thì xong, vậy một ngày hai đội làm được \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{20}\] (công việc). (1)

Công việc hai người làm được trong 12 ngày là

\[12\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\] (công việc).

Công việc người thứ hai làm được trong 12 ngày là \[12.\frac{1}{y}=\frac{12}{y}\] (công việc)

Công việc người thứ nhất làm được trong 6 ngày là \[6.\frac{1}{x}=\frac{6}{x}\] (công việc).

Sau khi làm chung được 12 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm. Đi được 12 ngày người đó trở về làm tiếp 6 ngày nữa và hoàn thành công việc, trong khi đó người thứ hai nghỉ làm..

Suy ra \[\frac{3}{5}+\frac{12}{y}+\frac{6}{x}=1\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{20} \\ \frac{3}{5}+\frac{12}{y}+\frac{6}{x}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{20} \\ \frac{6}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{6}{x}+\frac{6}{y}=\frac{3}{10} \\ \frac{6}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{5} \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{6}{y}=\frac{1}{10} \\ \frac{6}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{5} \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{y}=\frac{1}{60} \\ \frac{6}{x}=\frac{1}{5} \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \frac{1}{y}=\frac{1}{60} \\ \frac{1}{x}=\frac{1}{30} \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & y=60 \\ x=30 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy mình người thứ nhất làm cần 30 ngày hoàn thành xong công việc, mình người thứ hai làm cần 60 ngày hoàn thành xong công việc.