Dạng 3: Giải bài toán về năng suất lao động bằng cách lập hệ phương trình

• Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau Bước 1. Lập hệ phương trình. – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (chọn một trong các đại lượng công việc, năng suất, thời gian…. làm ẩn). – Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. \[A=N.t;\,\,N=\frac{A}{t};\,\,t=\frac{A}{N}\] trong đó A là khối lượng công việc, N là năng suất, t là thời gian hoàn thành công việc. Bước 2. Giải hệ phương trình Bước 3. Kiểm tra xem xong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ: Một xí nghiệp theo kế hoạch làm với năng suất 60 dụng cụ một ngày. Thực tế, năng suất một ngày của xí nghiệp vượt mức kế hoạch 10 dụng cụ nên xí nghiệp vượt mức kế hoạch 30 dụng cụ và xong sớm 1 ngày. Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm theo kế hoạch và thời gian xí nghiệp dự định hoàn thành theo kế hoạch. Hướng dẫn giải Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp dự định làm theo kế hoạch là x (dụng cụ). Thời gian xí nghiệp dự định hoàn thành theo kế hoạch là y (ngày) (x, y > 0). Năng suất theo kế hoạch là 60 dụng cụ một ngày suy ra \[60y=x\Leftrightarrow x-60y=0.\,\,\,\left( 1 \right)\] Thực tế, năng suất một ngày của xí nghiệp vượt mức kế hoạch 10 dụng cụ nên xí nghiệp vượt mức kế hoạch 30 dụng cụ và xong sớm 1 ngày. Suy ra \[70\left( y-1 \right)=x+30\Leftrightarrow x-70y=-100.\,\,\,\left( 2 \right)\] Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & x-60y=0 \\ x-70y=-100 \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 10y=100 \\ x-70y=-100 \\ \end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & y=10 \\ x=600 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện). Vậy theo kế hoạch xí nghiệp làm 600 dụng cụ trong 10 ngày.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải lảm được 720 sản phẩm. Nếu tăng năng suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc sớm so với kế hoạch 1 ngày. Nếu giảm năng suất đi 20 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành chậm hơn so với kế hoạch 3 ngày. Tính số lượng sản phẩm tổ đó phải sản xuất mỗi ngày theo dự định.

Hướng dẫn giải

Gọi năng suất tổ sản xuất dự định làm là x (sản phẩm/ngày), thời gian tổ sản xuất dự định hoàn thành kế hoạch là y (ngày) (x, y > 0).

Theo kế hoạch tổ sản xuất làm 720 sản phẩm nên \[x.y=720\].

Nếu tăng năng suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc sớm so với kế hoạch 1 ngày.

Suy ra \[\left( x+10 \right).\left( y-1 \right)=720\Leftrightarrow \left( x+10 \right).\left( y-1 \right)=xy.\,\,\,\left( 1 \right)\]

Nếu giảm năng suất đi 20 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc chậm hơn so với kế hoạch 3 ngày.

Suy ra \[\left( x-20 \right).\left( y+3 \right)=720\Leftrightarrow \left( x-20 \right).\left( y+3 \right)=xy.\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array} & \left( x+10 \right).\left( y-1 \right)=xy \\ \left( x-20 \right).\left( y+3 \right)=xy \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & xy-x+10y-10=xy \\ xy+3x-20y-60=xy \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & -x+10y=10 \\ 3x-20y=60 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & -2x+20y=20 \\ 3x-20y=60 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x=80 \\ 3x-20y=60 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x=80 \\ y=9 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ đó phải sản xuất 80 sản phẩm.

Ví dụ 2

. Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Tuy nhiên, thực tế mỗi ngày nhà máy đã làm thêm được 100 chi tiết nên đã sản xuất thêm được 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Tính số chi tiết máy và số ngày nhà máy sản xuất số chi tiết máy đó theo kế hoạch.

Hướng dẫn giải

Gọi số chi tiết máy nhà máy dự định làm là x ( chi tiết máy), thời gian mà nhà máy dự định hoàn thành theo kế hoạch là y ( ngày) (x, y > 0).

Nhà máy dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày nên

\[300y=x\Leftrightarrow x-300y=0.\,\,\left( 1 \right)\]

Thực tế mỗi ngày đã làm thêm được 100 chi tiết máy nên đã sản xuất thêm được 600 chi tiết máy và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày.

Suy ra \[400\left( y-1 \right)=x+600\Leftrightarrow x-400y=-1000.\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array} & x-300y=0 \\ x-400y=-1000 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 100y=1000 \\ x=300y \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & y=10 \\ x=3000 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy theo kế hoạch nhà máy dự định làm 3000 chi tiết máy trong 10 ngày.