Bài toán 2: Xác định phương trình đường thẳng biết vị trí tương đối của hai đường thẳng và điểm đi qua

Phương pháp giải

	Ví dụ: Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm \[A(1;5)\] và song song với đường thẳng \[y=-x+3\]. Hướng dẫn giải
Bước 1. Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số a.	Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm \[A(1;5)\] và song song với đường thẳng \[y=-x+3\] là \[y=ax+b\]. Vì đường thẳng \[y=ax+b\] song song với đường thẳng \[y=-x+3\] suy ra \[a=-1\] và \[b\ne 3\]. Khi đó phương trình đường thẳng \[y=ax+b\] có dạng \[y=-x+b\] \[(b\ne 3)\].
Bước 2. Thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để xác định hệ số b.	Mặt khác đường thẳng \[y=-x+b\] đi qua điểm \[A(1;5)\] nên \[5=-1+b\]\[\Rightarrow b=6\] (thỏa mãn \[b\ne 3\]).
Bước 3. Kết luận.	Vậy định phương trình đường thẳng đi qua điểm \[A(1;5)\] và song song với đường thẳng \[y=-x+3\]là \[y=-x+6\].

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm \[A(1;-2)\] và vuông góc với đường thẳng \[y=\frac{1}{2}x+3\].

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm \[A(1;-2)\] và vuông góc với đường thẳng \[y=\frac{1}{2}x+3\] là \[y=ax+b\].

Vì đường thẳng \[y=ax+b\] vuông góc với đường thẳng \[y=\frac{1}{2}x+3\] suy ra

\[a.\frac{1}{2}=-1\]\[\Rightarrow a=-2\].

Khi đó phương trình đường thẳng \[y=ax+b\] có dạng \[y=-2x+b\].

Mặt khác đường thẳng \[y=-2x+b\] đi qua điểm \[A(1;-2)\] suy ra

\[-2=2.1+b\]\[\Rightarrow b=0\]

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm \[A(1;-2)\] và vuông góc với đường thẳng \[y=\frac{1}{2}x+3\] là \[y=-2x\].

Ví dụ 2. Xác định phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \[y=-3x+2\] và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 6.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \[y=-3x+2\] và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 6 là \[y=ax+b\].

Vì đường thẳng \[y=ax+b\] song song với đường thẳng \[y=-3x+2\] suy ra

\[a=-3\] và \[b\ne 2\].

Khi đó phương trình đường thẳng \[y=ax+b\] có dạng \[y=-3x+b\] \[(b\ne 2)\].

Mặt khác đường thẳng \[y=-3x+b\] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 6 hay đường thẳng \[y=-3x+b\] đi qua điểm \[M(6;0)\] suy ra

\[0=-3.6+b\]\[\Rightarrow b=18\] (thỏa mãn \[b\ne 2\]).

Vậy phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \[y=-3x+2\] và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 6 là \[y=-3x+18\].