• Bài tập tự luyện dạng 5

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Xác định khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[y=-3\].

Câu 2.

Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=2x+1\]. Xác định khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\].

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=2mx+m\]. Xác định m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\] bằng \[\frac{1}{\sqrt{5}}\].

Câu 4.

Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=x+3\]. Tính khoảng cách từ \[I\left( 1;1 \right)\] đến đường thẳng \[\left( d \right)\].

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Hàm số \[y=-3\] là hàm hằng có đồ thị song song với trục Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ là -3. Vậy suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[y=-3\] bằng 3.

Câu 2.

Với \[y=0\Rightarrow x=\frac{-1}{2}\] suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm \[A\left( \frac{-1}{2};0 \right)\].

Với \[x=0\Rightarrow y=1\] suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm \[B\left( 0;1 \right)\].

Xét tam giác OAB vuông tại O có \[OA=\left| \frac{-1}{2} \right|=\frac{1}{2}\]; \[OB=\left| 1 \right|=1\].

\[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{1}^{2}}}=5\Rightarrow O{{H}^{2}}=\frac{1}{5}\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{5}}{5}\].

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right):y=2x+1\] là \[\frac{\sqrt{5}}{5}\].

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Xét \[m=0\] phương trình đường thẳng \[\left( d \right):y=0\]. Với \[m=0\] đường thẳng \[\left( d \right)\] là trục Ox suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến \[\left( d \right)\] bằng 0. Vậy \[m=0\] không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xét \[m\ne 0\]: Với \[y=0\Rightarrow x=\frac{-1}{2}\] suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm \[A\left( \frac{-1}{2};0 \right)\]. Với \[x=0\Rightarrow y=m\] suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm \[B\left( 0;m \right)\]. Xét tam giác vuông OAB vuông tại O. Ta có \[OA=\left| \frac{-1}{2} \right|=\frac{1}{2}\]; \[OB=\left| m \right|\]. Dựng đường cao OH vuông góc với AB suy ra ta có \[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{m}^{2}}}=4+\frac{1}{{{m}^{2}}}\].

Mà \[OH=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow O{{H}^{2}}=\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=5\] suy ra \[4+\frac{1}{{{m}^{2}}}=5\Rightarrow {{m}^{2}}=1\Rightarrow m=\pm 1\].

Vậy với \[m=\pm 1\] khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right):y=2x+1\] là \[\frac{\sqrt{5}}{5}\].

Câu 4.

Vẽ đường thẳng \[\left( d \right):y=x+3\].

● Với \[x=0\] thì \[y=3\] suy ra đường thẳng \[\left( d \right):y=x+3\] đi qua điểm \[A\left( 0;3 \right)\]. ● Với \[y=0\] thì \[x=-3\] suy ra đường thẳng \[\left( d \right):y=x+3\] đi qua điểm \[B\left( -3;0 \right)\]. ● Với \[x=1\] thì \[y=4\] suy ra đường thẳng \[\left( d \right):y=x+3\] đi qua điểm \[M\left( 1;4 \right)\]. ● Với \[y=1\] thì \[x=-2\] suy ra đường thẳng \[\left( d \right):y=x+3\] đi qua điểm \[N\left( -2;1 \right)\]. Xét tam giác MIN vuông tại I ta có \[IM=\left| {{y}_{M}}-{{y}_{I}} \right|=\left| 4-1 \right|=3\]; \[IN=\left| {{x}_{N}}-{{x}_{I}} \right|=\left| 1-\left( -2 \right) \right|=3\].

Dựng IH vuông góc với \[\left( d \right)\]. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MIN vuông tại I ta có

\[\frac{1}{I{{H}^{2}}}=\frac{1}{I{{N}^{2}}}+\frac{1}{I{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}=\frac{2}{9}\Rightarrow I{{H}^{2}}=\frac{9}{2}\Rightarrow IH=\frac{3\sqrt{2}}{2}\].

Suy ra khoảng cách từ \[I\left( 1;1 \right)\] đến đường thẳng \[\left( d \right):y=x+3\] là \[\frac{3\sqrt{2}}{2}\].