Bài toán 1: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến một đường thẳng
-
Phương pháp giải
Ví dụ:Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=x+1\]. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\]. Hướng dẫn giải |
|
|
Bước 1. Xác định giao điểm của đường thẳng \[y=ax+b\] và hai trục Ox, Oy. |
● Với \[x=0\] thì \[y=1\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và Oy là \[A\left( 0;1 \right)\]. ● Với \[y=0\] thì \[x=-1\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với Ox là \[B\left( -1;0 \right)\]. |
|
Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của tam giác OAB. |
Xét tam giác OAB vuông tại O ta có \[OA=\left| {{y}_{A}} \right|=\left| 1 \right|=1\]; \[OB=\left| {{x}_{B}} \right|=\left| -1 \right|=1\].
|
|
Bước 3. Dựng đường cao \[OH\bot AB\]. Áp dụng công thức hệ thức lượng cho tam giác OAB vuông tại O. \[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\] |
Dựng đường cao \[OH\bot AB\]. Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có \[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\] \[\begin{array} & \Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{1}^{2}}}=2 \\ \Rightarrow O{{H}^{2}}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow OH=\frac{\sqrt{2}}{2}. \\ \end{array}\] Vậy khoảng cách từ O tới đường thẳng \[\left( d \right)\] là \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]. |
-
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=-2x+1\]. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\].
Hướng dẫn giải
● Với \[x=0\] thì \[y=1\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và Oy là \[A\left( 0;1 \right)\].
● Với \[y=0\] thì \[x=\frac{1}{2}\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với Ox là \[B\left( \frac{1}{2};0 \right)\].
Xét tam giác OAB vuông tại O ta có
\[OA=\left| {{y}_{A}} \right|=\left| 1 \right|=1\]; \[OB=\left| {{x}_{B}} \right|=\left| \frac{1}{2} \right|=\frac{1}{2}\].
|
Dựng đường cao \[OH\bot AB\]. Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có \[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=5\Rightarrow O{{H}^{2}}=\frac{1}{5}\Rightarrow OH=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\] Vậy khoảng cách từ O tới đường thẳng \[\left( d \right)\] là \[\frac{\sqrt{5}}{5}\]. |
Tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[\begin{array} & B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \\ BH.BC=B{{A}^{2}} \\ CH.CB=C{{A}^{2}} \\ AH.BC=AB.AC \\ A{{H}^{2}}=HB.HC \\ \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}} \\ \end{array}\] |
Ví dụ 2.
Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=2\]. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\].
Hướng dẫn giải
|
Đường thẳng \[\left( d \right):y=2\] là đường thẳng vuông góc với Oy, song song với Ox. Gọi A là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với trục Oy suy ra giao điểm là \[A\left( 0;2 \right)\] Vì \[\left( d \right):y=2\] là đường thẳng vuông góc với Oy vậy suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ tới \[\left( d \right)\] là 2. |
Đường thẳng y = m là đường thẳng vuông góc với Oy, song song hoặc trùng với Ox. Khoảng cách của gốc tọa độ với đường thẳng y = m là \[\left| m \right|\] |