Bài toán 2: Xác định điều kiện của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước

• Phương pháp giải

	Ví dụ: Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=mx+2m\,\,\]. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\] là \[\sqrt{2}\]. Hướng dẫn giải
Bước 1. Xác định giao điểm của đường thẳng \[y=ax+b\] và hai trục Ox, Oy.	Xét \[m=0\] đường thẳng \[\left( d \right):y=0\] suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ tới \[\left( d \right)\] bằng 0. Vậy \[m=0\] không thỏa mãn. Xét \[m\ne 0\]: Gọi A là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với trục Ox. Với \[y=0\] thì \[x=-2\] suy ra \[A\left( -2;0 \right)\]. Gọi B là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với trục Oy. Với \[x=0\] thì \[y=2m\] suy ra \[B\left( 0;2m \right)\].
Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của tam giác OAB.	Xét tam giác vuông OAB ta có \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| -2 \right|=2\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 2m \right|=\left| 2m \right|\].
Bước 3. Dựng đường cao \[OH\bot AB\]. Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB. \[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\]	Dựng đường cao \[OH\bot AB\]. Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có \[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\]
Bước 4. Giải phương trình, bất phương trình theo ẩn là tham số m.	\[\begin{array} & \Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{{{\left( 2m \right)}^{2}}} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{4{{m}^{2}}}=\frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow {{m}^{2}}=1 \\ \Leftrightarrow m=\pm 1. \\ \end{array}\]
Bước 5. Kết luận	Vậy \[m=\pm 1\] thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[y=mx+2m\,\,\]bằng \[\sqrt{2}\].

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=-mx+2\]. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\] là \[\frac{2\sqrt{5}}{5}\].

Hướng dẫn giải

Xét \[m=0\] đường thẳng \[\left( d \right):y=2\] suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ tới \[\left( d \right)\] bằng 2. Vậy \[m=0\] không thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Gọi A là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với trục Ox.

Với \[y=0\] thì \[x=\frac{2}{m}\] suy ra \[A\left( \frac{2}{m};0 \right)\].

Gọi B là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với trục Oy.

Với \[x=0\] thì \[y=2\] suy ra \[B\left( 0;2 \right)\].

Xét tam giác vuông OAB ta có

\[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| \frac{2}{m} \right|=\frac{2}{\left| m \right|}\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 2 \right|=2\].

Dựng đường cao \[OH\bot AB\]. Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có

\[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\]

\[\Leftrightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{\left( \frac{4}{{{m}^{2}}} \right)}+\frac{1}{{{2}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}+1}{4}\]

Mà khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\] là \[\frac{2\sqrt{5}}{5}\] suy ra

\[\begin{array} & \Leftrightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}+1}{4}=\frac{5}{4} \\ \Leftrightarrow {{m}^{2}}=4 \\ \Leftrightarrow m=\pm 2. \\ \end{array}\]

Vậy \[m=\pm 2\] thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right):y=-mx+2\] bằng \[\frac{2\sqrt{5}}{5}\].

Ví dụ 2.

Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=x+m-1\]. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\] là \[3\sqrt{2}\].

Hướng dẫn giải

Với \[y=0\] thì \[x=1-m\] suy ra tọa độ giao điểm A của đường thẳng \[\left( d \right)\] và Ox là \[A\left( 1-m;0 \right)\].

Với \[x=0\] thì \[y=m-1\] suy ra tọa độ giao điểm B của đường thẳng \[\left( d \right)\] và Oy là \[B\left( 0;m-1 \right)\].

Xét tam giác vuông OAB ta có:

\[OA=\left| 1-m \right|=\left| m-1 \right|\]; \[OB=\left| m-1 \right|\].

Dựng đường cao \[OH\bot AB\]. Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có

\[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\]

\[\begin{array} & \Leftrightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}=\frac{2}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}} \\ \Leftrightarrow O{{H}^{2}}=\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{2} \\ \Leftrightarrow OH=\frac{\left| m-1 \right|}{\sqrt{2}}. \\ \end{array}\]

Mà khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right)\] là \[3\sqrt{2}\] suy ra

\[\begin{array} & \Rightarrow OH=\frac{\left| m-1 \right|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow \left| m-1 \right|=6. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m-1=6 \\ m-1=-6 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=7 \\ m=-5 \\ \end{array} \right.. \\ \end{array}\]

Vậy \[m=7\]; \[m=-5\] thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \[\left( d \right):y=x+m-1\] bằng \[3\sqrt{2}\].