Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Câu 1. Đồ thị hàm số \[y=x+1\] cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B. Xác định độ dài đoạn thẳng AB, diện tích, chu vi tam giác OAB.

Câu 2. Cho hàm số \[y=2x+2m+1\]. Xác định m biết đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B và độ dài đoạn thẳng \[AB=\frac{\sqrt{5}}{2}\].

Bài tập nâng cao

Câu 3. Cho hàm số \[y=2x+4m\], tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4.

Câu 4. Cho hàm số \[y=mx+2\], tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B sao cho chu vi tam giác OAB bằng \[3+\sqrt{5}\].

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Với \[y=0\] thì \[x=-1\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với trục tọa Ox là \[A\left( -1;0 \right)\].

Với \[x=0\] thì \[y=1\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với trục tọa Oy là \[B\left( 0;1 \right)\].

Xét tam giác vuông OAB có \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| -1 \right|=1\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 1 \right|=1\].

Độ dài đoạn thẳng \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2}\].

Diện tích tam giác OAB là \[{{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2}\] (đvdt).

Vậy chu vi của tam giác OAB là \[{{C}_{\Delta OAB}}=OA+OB+AB=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}\] (đvđd).

Câu 2.

Với \[y=0\Rightarrow x=\frac{-2m-1}{2}\]. Suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm \[A\left( \frac{-2m-1}{2};0 \right)\].

Với \[x=0\Rightarrow y=2m+1\]. Suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm \[B\left( 0;2m+1 \right)\].

Xét tam giác OAB vuông tại O có

\[OA=\left| \frac{-2m-1}{2} \right|=\frac{\left| 2m+1 \right|}{2}\]; \[OB=\left| 2m+1 \right|\].

Theo định lý Py-ta-go ta có \[A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=\frac{{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}{4}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=\frac{5{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}{4}\].

Với \[AB=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \frac{5{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}{4}=\frac{5}{4}\Rightarrow {{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=1\]

\[\begin{array} & \Rightarrow {{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-1=0\Rightarrow 2m\left( 2m+2 \right)=0 \\ \Rightarrow \left[ \begin{array} & m=0 \\ m=-1 \\ \end{array} \right.. \\ \end{array}\]

Với \[m=0\] suy ra \[y=2x+1\].

Với \[m=-1\] suy ra \[y=2x-1\].

Vậy \[m=0\] hoặc \[m=-1\] thì đồ thị hàm số \[y=2x+2m+1\] cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và độ dài \[AB=\frac{\sqrt{5}}{2}\].

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Với \[y=0\] suy ra \[x=-2m\] suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm \[A\left( -2m;0 \right)\].

Với \[x=0\] suy ra \[y=4m\] suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm \[B\left( 0;4m \right)\].

Xét tam giác OAB vuông tại O có \[OA=\left| -2m \right|=\left| 2m \right|\]; \[OB=\left| 4m \right|\].

Vì diện tích của tam giác \[OAB=4\] suy ra \[\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\left| 2m \right|.\left| 4m \right|=4\]

\[\Rightarrow 8{{m}^{2}}=8\Rightarrow {{m}^{2}}=1\].

Suy ra \[m=-1\] hoặc \[m=1\].

Vậy \[m=-1\] hoặc \[m=1\] thì đồ thị đường thẳng \[y=2x+4m\] cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng 4.

Câu 4.

Điều kiện để đồ thị đường thẳng \[y=mx+2\] cắt hai trục Ox, Oy là \[m\ne 0\].

Với \[y=0\Rightarrow x=\frac{-2}{m}\] suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm \[A\left( \frac{-2}{m};0 \right)\].

Với \[x=0\Rightarrow y=2\] suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm \[B\left( 0;2 \right)\].

Xét tam giác OAB vuông tại O có \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| \frac{-2}{m} \right|=\frac{2}{\left| m \right|}\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 2 \right|=2\].

Theo định lí Py-ta-go \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{4+\frac{4}{{{m}^{2}}}}=\frac{2}{\left| m \right|}\sqrt{{{m}^{2}}+1}\].

Vậy chu vi của tam giác OAB là \[{{C}_{\Delta OAB}}=OA+OB+AB=2+\frac{2}{\left| m \right|}+\frac{2}{\left| m \right|}\sqrt{{{m}^{2}}+1}\].

Mặt khác theo đề bài chu vi tam giác OAB là \[3+\sqrt{5}\] nên suy ra

\[2+\frac{2}{\left| m \right|}+\frac{2}{\left| m \right|}\sqrt{{{m}^{2}}+1}=3+\sqrt{5}\Rightarrow 2+2\sqrt{{{m}^{2}}+1}=\left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|\]

\[\Rightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}+1}=\left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|-2\]

\[\Rightarrow 4\left( {{m}^{2}}+1 \right)=\left( 6+2\sqrt{5} \right){{m}^{2}}-4\left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|+4\]

\[\Rightarrow \left( 2+2\sqrt{5} \right){{m}^{2}}-4\left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|=0\]

\[\Rightarrow \left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|\left( 2m-4 \right)=0\].

Trường hợp 1: \[\left| m \right|=0\Rightarrow m=0\] (loại).

Trường hợp 2: \[2\left| m \right|-4=0\Rightarrow m=\pm 2\].

Vậy \[m=\pm 2\] đồ thị hàm số \[y=mx+2\] cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho chu vi tam giác OAB bằng \[3+\sqrt{5}\].