Bài tập Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc nhất cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Câu 1. Đồ thị hàm số \[y=x+1\] cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B. Xác định độ dài đoạn thẳng AB, diện tích, chu vi tam giác OAB.

Câu 2. Cho hàm số \[y=2x+2m+1\]. Xác định m biết đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B và độ dài đoạn thẳng \[AB=\frac{\sqrt{5}}{2}\].

Bài tập nâng cao

Câu 3. Cho hàm số \[y=2x+4m\], tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4.

Câu 4. Cho hàm số \[y=mx+2\], tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B sao cho chu vi tam giác OAB bằng \[3+\sqrt{5}\].

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Với \[y=0\] thì \[x=-1\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với trục tọa Ox là \[A\left( -1;0 \right)\].

Với \[x=0\] thì \[y=1\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với trục tọa Oy là \[B\left( 0;1 \right)\].

Xét tam giác vuông OAB có \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| -1 \right|=1\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 1 \right|=1\].

Độ dài đoạn thẳng \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2}\].

Diện tích tam giác OAB là \[{{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2}\] (đvdt).

Vậy chu vi của tam giác OAB là \[{{C}_{\Delta OAB}}=OA+OB+AB=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}\] (đvđd).

Câu 2.

Với \[y=0\Rightarrow x=\frac{-2m-1}{2}\]. Suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm \[A\left( \frac{-2m-1}{2};0 \right)\].

Với \[x=0\Rightarrow y=2m+1\]. Suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm \[B\left( 0;2m+1 \right)\].

Xét tam giác OAB vuông tại O có

\[OA=\left| \frac{-2m-1}{2} \right|=\frac{\left| 2m+1 \right|}{2}\]; \[OB=\left| 2m+1 \right|\].

Theo định lý Py-ta-go ta có \[A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=\frac{{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}{4}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=\frac{5{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}{4}\].

Với \[AB=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \frac{5{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}{4}=\frac{5}{4}\Rightarrow {{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=1\]

\[\begin{array} & \Rightarrow {{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-1=0\Rightarrow 2m\left( 2m+2 \right)=0 \\ \Rightarrow \left[ \begin{array} & m=0 \\ m=-1 \\ \end{array} \right.. \\ \end{array}\]

Với \[m=0\] suy ra \[y=2x+1\].

Với \[m=-1\] suy ra \[y=2x-1\].

Vậy \[m=0\] hoặc \[m=-1\] thì đồ thị hàm số \[y=2x+2m+1\] cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và độ dài \[AB=\frac{\sqrt{5}}{2}\].

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Với \[y=0\] suy ra \[x=-2m\] suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm \[A\left( -2m;0 \right)\].

Với \[x=0\] suy ra \[y=4m\] suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm \[B\left( 0;4m \right)\].

Xét tam giác OAB vuông tại O có \[OA=\left| -2m \right|=\left| 2m \right|\]; \[OB=\left| 4m \right|\].

Vì diện tích của tam giác \[OAB=4\] suy ra \[\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\left| 2m \right|.\left| 4m \right|=4\]

\[\Rightarrow 8{{m}^{2}}=8\Rightarrow {{m}^{2}}=1\].

Suy ra \[m=-1\] hoặc \[m=1\].

Vậy \[m=-1\] hoặc \[m=1\] thì đồ thị đường thẳng \[y=2x+4m\] cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng 4.

Câu 4.

Điều kiện để đồ thị đường thẳng \[y=mx+2\] cắt hai trục Ox, Oy là \[m\ne 0\].

Với \[y=0\Rightarrow x=\frac{-2}{m}\] suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm \[A\left( \frac{-2}{m};0 \right)\].

Với \[x=0\Rightarrow y=2\] suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm \[B\left( 0;2 \right)\].

Xét tam giác OAB vuông tại O có \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| \frac{-2}{m} \right|=\frac{2}{\left| m \right|}\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 2 \right|=2\].

Theo định lí Py-ta-go \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{4+\frac{4}{{{m}^{2}}}}=\frac{2}{\left| m \right|}\sqrt{{{m}^{2}}+1}\].

Vậy chu vi của tam giác OAB là \[{{C}_{\Delta OAB}}=OA+OB+AB=2+\frac{2}{\left| m \right|}+\frac{2}{\left| m \right|}\sqrt{{{m}^{2}}+1}\].

Mặt khác theo đề bài chu vi tam giác OAB là \[3+\sqrt{5}\] nên suy ra

\[2+\frac{2}{\left| m \right|}+\frac{2}{\left| m \right|}\sqrt{{{m}^{2}}+1}=3+\sqrt{5}\Rightarrow 2+2\sqrt{{{m}^{2}}+1}=\left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|\]

\[\Rightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}+1}=\left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|-2\]

\[\Rightarrow 4\left( {{m}^{2}}+1 \right)=\left( 6+2\sqrt{5} \right){{m}^{2}}-4\left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|+4\]

\[\Rightarrow \left( 2+2\sqrt{5} \right){{m}^{2}}-4\left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|=0\]

\[\Rightarrow \left( 1+\sqrt{5} \right)\left| m \right|\left( 2m-4 \right)=0\].

Trường hợp 1: \[\left| m \right|=0\Rightarrow m=0\] (loại).

Trường hợp 2: \[2\left| m \right|-4=0\Rightarrow m=\pm 2\].

Vậy \[m=\pm 2\] đồ thị hàm số \[y=mx+2\] cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho chu vi tam giác OAB bằng \[3+\sqrt{5}\].

Viết một bình luận