Bài toán 2: Xác định điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc nhất cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Phương pháp giải

	Ví dụ: Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=x+m\]. Tìm m để đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt hai trục Ox; Oy tạo thành một tam giác vuông có độ lớn cạnh huyền là \[2\sqrt{2}\]. Hướng dẫn giải
Bước 1. Xác định giao điểm của đường thẳng \[y=ax+b\] với hai trục Ox, Oy.	Với \[y=0\] thì \[x=-m\] suy ra tọa độ giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] và Ox là \[A\left( -m;0 \right)\]. Với \[x=0\] thì \[y=m\] suy ra tọa độ giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] và Oy là \[B\left( 0;m \right)\].
Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của \[\Delta OAB\] \[OA=\left| b \right|\]; \[OB=\left| \frac{-b}{a} \right|\] và \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{b}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}\]	Tam giác vuông OAB có \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| -m \right|=\left| m \right|\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| m \right|=\left| m \right|\]. Suy ra \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{m}^{2}}+{{m}^{2}}}=\left| m \right|\sqrt{2}\].
Bước 3. Dựa vào yêu cầu đề bài xác định mối quan hệ của các yếu tố còn lại, từ đó thiết lập phương trình, bất phương trình tham số m.	Mà theo đề bài độ dài cạnh huyền \[AB=2\sqrt{2}\] nên
Bước 4. Giải phương trình, bất phương trình theo ẩn là tham số m.	\[\left| m \right|\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| m \right|=2\Rightarrow m=\pm 2\].
Bước 5. Kết luận	Vậy \[m=\pm 2\] thì \[\left( d \right):y=x+m\] cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tạo một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là \[2\sqrt{2}\].

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số \[\left( d \right):y=mx+2\,\,\left( m\ne 0 \right)\]. Tìm m để đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tạo tam giác vuông có diện tích bằng \[\frac{1}{8}\].

Hướng dẫn giải

Với \[y=0\] thì \[x=-\frac{2}{m}\] suy ra giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] và Ox là \[A\left( -\frac{2}{m};0 \right)\].

Với \[x=0\] thì \[y=2\] suy ra giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] và Oy là \[B\left( 0;2 \right)\].

Xét tam giác vuông OAB ta có

\[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| -\frac{2}{m} \right|=\left| \frac{2}{m} \right|\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 2 \right|=2\].

Diện tích tam giác OAB là \[{{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\frac{2}{\left| m \right|}.2=\frac{2}{\left| m \right|}\].

Theo đề bài diện tích tam giác OAB là \[\frac{1}{8}\] suy ra

\[\frac{2}{\left| m \right|}=\frac{1}{8}\Rightarrow \left| m \right|=16\Rightarrow m=\pm 16\].

Vậy với \[m=\pm 16\] thì \[\left( d \right):y=f\left( x \right)=mx+2\,\,\]cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tạo một tam giác vuông có diện tích là \[\frac{1}{8}\].

Ví dụ 2. Cho hàm số \[y=mx+2m\,\,\left( m\ne 0 \right)\]. Tìm m để đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt hai trục tọa độ Ox; Oy lần lượt tại A; B tạo tam giác vuông có chu vi bằng \[4+2\sqrt{2}\].

Hướng dẫn giải

Với \[y=0\] thì \[x=-2\] suy ra giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] và Ox là \[A\left( -2;0 \right)\].

Với \[x=0\] thì \[y=2m\] suy ra giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] và Oy là \[B\left( 0;2m \right)\].

Xét tam giác vuông OAB ta có

\[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| -2 \right|=2\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 2m \right|=2\left| m \right|\].

Suy ra \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 2m \right)}^{2}}}=2\sqrt{{{m}^{2}}+1}\].

Suy ra chu vi của tam giác OAB là

\[{{C}_{\Delta OAB}}=OA+OB+AB=2+2\left| m \right|+2\sqrt{{{m}^{2}}+1}\].

Mà theo đề bài chu vi \[\Delta OAB\] là \[4+2\sqrt{2}\] suy ra \[2+2\left| m \right|+2\sqrt{{{m}^{2}}+1}=4+2\sqrt{2}\]

\[\begin{array} & \Leftrightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}+1}=2\sqrt{2}+2-2\left| m \right| \\ \Leftrightarrow 4\left( {{m}^{2}}+1 \right)={{\left( 2\sqrt{2}+2-2\left| m \right| \right)}^{2}} \\ \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4={{\left( 2\sqrt{2}+2 \right)}^{2}}-8\left( \sqrt{2}+1 \right)\left| m \right|+4{{m}^{2}} \\ \Leftrightarrow 8\left( \sqrt{2}+1 \right)\left| m \right|=8+8\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow \left| m \right|=1\Leftrightarrow m=\pm 1. \\ \end{array}\]

Vậy \[m=\pm 1\] thì \[\left( d \right):y=mx+2m\,\,\]cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tạo một tam giác vuông có chu vi là \[4+2\sqrt{2}\].