Bài toán 1. Xác định các yếu tố liên quan đến tam giác tạo thành bởi đường thẳng cắt hai trục tọa độ.
Phương pháp giải
Xác định các yếu tố liên quan đến tam giác tạo thành bởi đường thẳng cắt hai trục tọa độ. |
Ví dụ: Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=2x+4\]. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với hai trục Oy, Ox. Tính độ dài cạnh huyền AB của \[\Delta OAB\]. Hướng dẫn giải |
Bước 1. Xác định giao điểm của hai đường thẳng \[y=ax+b\] và hai trục Ox, Oy. |
|
● Giao với Oy: Với \[x=0\] thì \[y=b\] suy ra tọa độ giao điểm của đường thẳng \[y=ax+b\] và trục Oy là \[A\left( 0;b \right)\]. |
Với \[x=0\] thì \[y=4\] suy ra tọa độ giao điểm của đồ thị và Oy là \[A\left( 0;4 \right).\] |
● Giao với Ox: Với \[y=0\] thì \[x=\frac{-b}{a}\] suy ra tọa độ giao điểm của đường thẳng \[y=ax+b\] và trục Ox là \[B\left( \frac{-b}{a};0 \right)\]. |
Với \[y=0\] thì \[x=-2\] suy ra tọa độ điểm của đồ thị và Ox là \[B\left( -2;0 \right)\]. |
Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của \[\Delta OAB\] \[OA=\left| b \right|\]; \[OB=\left| \frac{-b}{a} \right|\] và \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{b}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}\] |
Xét tam giác vuông OAB vuông tại O có \[OA=\left| {{y}_{A}} \right|=\left| 4 \right|=4\]; \[OB=\left| {{x}_{B}} \right|=\left| -2 \right|=2\]. |
Bước 3. Dụa vào yêu cầu đề bài xác định mối quan hệ của các yếu tố còn lại. |
Vậy suy ra độ dài cạnh huyền AB là \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}\]. |
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=-x+3\]. Gọi A; B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với hai trục tọa độ Ox; Oy. Tính diện tích của tam giác OAB. Hướng dẫn giải Với \[y=0\] thì \[x=3\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với trục Ox là \[A\left( 3;0 \right)\]. Với \[x=0\] thì \[y=3\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với trục Oy là \[B\left( 0;3 \right)\]. Xét tam giác vuông OAB có \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| 3 \right|=3\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 3 \right|=3\]. Suy ra diện tích của tam giác OAB là \[{{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{3}3.3=\frac{9}{2}\] (đvdt). Ví dụ 2. Cho đường thẳng \[\left( d \right):y=3x+6\]. Gọi A; B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \[\left( d \right)\] với hai trục tọa độ Ox; Oy. Tính chu vi của tam giác OAB. Hướng dẫn giải Với \[y=0\] thì \[x=-2\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với trục Ox là \[A\left( -2;0 \right)\]. Với \[x=0\] thì \[y=6\] suy ra tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] với trục Oy là \[B\left( 0;6 \right)\]. Xét tam giác vuông OAB có \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|=\left| -2 \right|=2\]; \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|=\left| 6 \right|=6\]. Độ dài của đoạn thẳng \[AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{6}^{2}}}=2\sqrt{10}\]. Vậy chu vi của tam giác OAB là \[{{C}_{\Delta OAB}}=OA+OB+AB=2+6+2\sqrt{10}=8+2\sqrt{10}\] (đvđd). |
Điểm A thuộc trục hoành có tọa độ \[A\left( {{x}_{A}};0 \right)\]. Độ dài \[OA=\left| {{x}_{A}} \right|\]. Điểm B thuộc trục tung có tọa độ \[B\left( 0;{{y}_{B}} \right)\]. Độ dài \[OB=\left| {{y}_{B}} \right|\]. Với \[A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\] thì: ● khoảng cách từ A tới Ox là \[\left| {{y}_{A}} \right|\], ● khoảng cách từ A tới Oy là \[\left| {{x}_{A}} \right|\]. Diện tích tam giác OAB vuông tại O là \[{{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB\]. Chu vi tam giác OAB vuông tại O là \[{{C}_{\Delta OAB}}=OA+OB+AB\] |