-
Bài tập tự luyện dạng 4
Bài tập cơ bản
Câu 1.
Chứng minh hàm số \[y=2x+7\] là hàm số đồng biến
Câu 2.
Chứng minh hàm số \[y=\frac{-1}{3}x+4\] là hàm số nghịch biến
Bài tập nâng cao
Câu 3.
Cho hàm số \[y=3mx+5-2x+m\], tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến
Câu 4.
Cho hàm số \[y={{m}^{2}}x+2-4x+3m\], tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập cơ bản
Câu 1.
Hàm số \[y=2x+7\].
Xét \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}>0\].
Ta có \[{{y}_{1}}=2{{x}_{1}}+7\];
\[{{y}_{2}}=2{{x}_{2}}+7\].
Xét \[{{y}_{1}}-{{y}_{2}}=\left( 2{{x}_{1}}+7 \right)-\left( 2{{x}_{2}}+7 \right)\]
\[=2{{x}_{1}}+7-2{{x}_{2}}-7\]
\[=2{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}=2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\].
Vì \[{{x}_{1}}-{{x}_{2}}>0\] suy ra \[{{y}_{1}}-{{y}_{2}}=2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)>0\].
Hàm số đồng biến.
Câu 2.
Xét hàm số \[y=\frac{-1}{3}x+4\].
Xét \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}>0\].
Ta có \[{{y}_{1}}=\frac{-1}{3}{{x}_{1}}+4\];
\[{{y}_{2}}=\frac{-1}{3}{{x}_{2}}+4\].
Xét \[{{y}_{1}}-{{y}_{2}}=\left( \frac{-1}{3}{{x}_{1}}+4 \right)-\left( \frac{-1}{3}{{x}_{2}}+4 \right)\]
\[=\frac{-1}{3}{{x}_{1}}+4+\frac{1}{3}{{x}_{2}}-4\]
\[=\frac{-1}{3}{{x}_{1}}-\frac{-1}{3}{{x}_{2}}=\frac{-1}{3}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\].
Vì \[{{x}_{1}}-{{x}_{2}}>0\] suy ra \[{{y}_{1}}-{{y}_{2}}=\frac{-1}{3}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)<0\].
\[\Rightarrow \] Hàm số nghịch biến.
Bài tập nâng cao
Câu 3.
Xét hàm số \[y=3mx+5-2x+m=\left( 3m-2 \right)x+5+m\].
Xét \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\in \mathbb{R}\].
Ta có \[{{y}_{1}}=\left( 3m-2 \right){{x}_{1}}+5+m\];
\[{{y}_{2}}=\left( 3m-2 \right){{x}_{2}}+5+m\].
Xét \[\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\frac{\left( 3m-2 \right){{x}_{1}}+5+m-\left[ \left( 3m-2 \right){{x}_{2}}+5+m \right]}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\]
\[=\frac{\left( 3m-2 \right){{x}_{1}}+5+m-\left( 3m-2 \right){{x}_{2}}-5-m}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\]
\[=\frac{\left( 3m-2 \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=3m-2\].
Để hàm số đồng biến thì \[3m-2>0\Rightarrow m>\frac{2}{3}\].
Vậy với \[m>\frac{2}{3}\] hàm số \[y=3mx+5-2x+m\] đồng biến.
Câu 4.
Xét hàm số \[y={{m}^{2}}x+2-4x+3m=\left( {{m}^{2}}-4 \right)x+2+3m\].
Xét \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\in \mathbb{R}\].
Ta có \[{{y}_{1}}=\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}_{1}}+2+3m\];
\[{{y}_{2}}=\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}_{2}}+2+3m\].
Xét \[\begin{array} & \frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\frac{\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}_{1}}+2+3m-\left[ \left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}_{2}}+2+3m \right]}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \\ \\ \end{array}\]
\[=\frac{\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}_{1}}+2+3m-\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}_{2}}-2-3m}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\]
\[=\frac{\left( {{m}^{2}}-4 \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}={{m}^{2}}-4\].
Để hàm số nghịch biến thì \[{{m}^{2}}-4<0\Rightarrow {{m}^{2}}<4\Rightarrow -2<m<2\].
Vậy với \[-2<m<2\] hàm số \[y={{m}^{2}}x+2-4x+3m\] nghịch biến.