Cách so sánh các căn bậc ba

Dạng 4: So sánh các căn bậc ba

  • Phương pháp giải

Chú ý tính chất:

\[a<b\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}\]

Ví dụ.

So sánh

a) \[\frac{2}{3}\sqrt[3]{18}\]và \[\frac{3}{4}\sqrt[3]{12}\]

b) \[\sqrt[3]{130}+1\]và \[3\sqrt[3]{12}-1\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có \[\frac{2}{3}\sqrt[3]{18}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}.18}\]

\[\sqrt[3]{\frac{16}{3}}=\sqrt[3]{5\frac{1}{3}}\]

Và \[\frac{3}{4}\sqrt[3]{12}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}.12}\]

\[=\sqrt[3]{\frac{81}{16}}=\sqrt[3]{5\frac{1}{16}}\]

Vì \[5\frac{1}{3}>5\frac{1}{16}\]

Vậy \[\frac{2}{3}\sqrt[3]{18}\]>\[\frac{3}{4}\sqrt[3]{12}\]

b) Ta có \[\sqrt[3]{130}+1>\sqrt[3]{125}+1=6\]

Và \[3\sqrt[3]{12}-1=\sqrt[3]{27.12}-1\]

\[=\sqrt[3]{324}-1<\sqrt[3]{343}-1=6\]

Vậy \[\sqrt[3]{130}+1>3\sqrt[3]{12}-1\].

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

So sánh \[\sqrt[3]{5\sqrt{2}}\]và \[\sqrt{5\sqrt[3]{2}}\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}};b=\sqrt{5\sqrt[3]{2}}\]

Ta có \[{{a}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{5\sqrt{2}} \right)}^{3}}=5\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( {{a}^{3}} \right)}^{2}}={{a}^{6}}=50;\]

\[{{b}^{2}}={{\left( \sqrt{5\sqrt[3]{2}} \right)}^{2}}=5\sqrt[3]{2}\Rightarrow {{\left( {{b}^{2}} \right)}^{3}}={{b}^{6}}=250\].

Do đó \[{{b}^{6}}>{{a}^{6}}\Rightarrow b>a\]

Vậy \[\sqrt{5\sqrt[3]{2}}\]>\[\sqrt[3]{5\sqrt{2}}\]

Ví dụ 2. So sánh \[A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\] và \[B=2\sqrt{5}\]

Hướng dẫn giải

Ta có \[A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\]

\[=\sqrt[3]{{{\left( 2+\sqrt{2} \right)}^{3}}}+\sqrt[3]{{{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{3}}}\]

\[=2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}\]

\[=4\]

Lại có \[4<5\Leftrightarrow \sqrt{4}<\sqrt{5}\Leftrightarrow 2\sqrt{4}<2\sqrt{5}\Leftrightarrow 4<2\sqrt{5}\]

Vậy \[A<B\].

Viết một bình luận