Dạng 4: So sánh các căn bậc ba

• Phương pháp giải

Chú ý tính chất: \[a<b\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}\]

Ví dụ. So sánh a) \[\frac{2}{3}\sqrt[3]{18}\]và \[\frac{3}{4}\sqrt[3]{12}\] b) \[\sqrt[3]{130}+1\]và \[3\sqrt[3]{12}-1\] Hướng dẫn giải a) Ta có \[\frac{2}{3}\sqrt[3]{18}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}.18}\] \[\sqrt[3]{\frac{16}{3}}=\sqrt[3]{5\frac{1}{3}}\] Và \[\frac{3}{4}\sqrt[3]{12}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}.12}\] \[=\sqrt[3]{\frac{81}{16}}=\sqrt[3]{5\frac{1}{16}}\] Vì \[5\frac{1}{3}>5\frac{1}{16}\] Vậy \[\frac{2}{3}\sqrt[3]{18}\]>\[\frac{3}{4}\sqrt[3]{12}\] b) Ta có \[\sqrt[3]{130}+1>\sqrt[3]{125}+1=6\] Và \[3\sqrt[3]{12}-1=\sqrt[3]{27.12}-1\] \[=\sqrt[3]{324}-1<\sqrt[3]{343}-1=6\] Vậy \[\sqrt[3]{130}+1>3\sqrt[3]{12}-1\].

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

So sánh \[\sqrt[3]{5\sqrt{2}}\]và \[\sqrt{5\sqrt[3]{2}}\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}};b=\sqrt{5\sqrt[3]{2}}\]

Ta có \[{{a}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{5\sqrt{2}} \right)}^{3}}=5\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( {{a}^{3}} \right)}^{2}}={{a}^{6}}=50;\]

\[{{b}^{2}}={{\left( \sqrt{5\sqrt[3]{2}} \right)}^{2}}=5\sqrt[3]{2}\Rightarrow {{\left( {{b}^{2}} \right)}^{3}}={{b}^{6}}=250\].

Do đó \[{{b}^{6}}>{{a}^{6}}\Rightarrow b>a\]

Vậy \[\sqrt{5\sqrt[3]{2}}\]>\[\sqrt[3]{5\sqrt{2}}\]

Ví dụ 2. So sánh \[A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\] và \[B=2\sqrt{5}\]

Hướng dẫn giải

Ta có \[A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\]

\[=\sqrt[3]{{{\left( 2+\sqrt{2} \right)}^{3}}}+\sqrt[3]{{{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{3}}}\]

\[=2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}\]

\[=4\]

Lại có \[4<5\Leftrightarrow \sqrt{4}<\sqrt{5}\Leftrightarrow 2\sqrt{4}<2\sqrt{5}\Leftrightarrow 4<2\sqrt{5}\]

Vậy \[A<B\].