Cách chứng minh đẳng thức

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

  • Phương pháp giải

+) Khai triển rút gọn một vế sao cho bằng vế

còn lại, hoặc rút gọn cả hai vế của đẳng thức đưa

về cùng một biểu thức.

+) Vận dụng các phép biến đổi căn bậc ba khi

rút gọn biểu thức: \[A\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{{{A}^{3}}B}\]

(Đưa biểu thức, thừa số vào trong căn).

\[\sqrt[3]{{{A}^{3}}B}=A\sqrt[3]{B}\]

(Đưa biểu thức, thừa số ra khỏi căn).

\[\sqrt[3]{\frac{A}{B}}=\frac{1}{B}\sqrt[3]{A{{B}^{2}}}\left( B\ne 0 \right).\]

Ví dụ.

Rút gọn biểu thức sau

\[A=\frac{\sqrt[3]{{{x}^{4}}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{4}}}}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}\].

Hướng dẫn giải

Đặt \[\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b.\]

Suy ra \[A=\frac{{{a}^{4}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}\]

\[\begin{array} & =\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}} \\ =\frac{\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}} \\ ={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \\ =\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}} \\ \end{array}\]

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Chứng minh \[\frac{8-x}{2+\sqrt[3]{x}}:\left( 2+\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{2+\sqrt[3]{x}} \right)+\left( \sqrt[3]{x}+\frac{2\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-2} \right).\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{x}}=2\]

với \[x\ne \pm 8;x\ne 0.\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[y=\sqrt[3]{x}\left( y\ne 0 \right).\]

VT\[=\frac{8-{{y}^{3}}}{2+y}:\left( 2+\frac{{{y}^{2}}}{2+y} \right)+\left( y+\frac{2y}{y-2} \right)\left( \frac{{{y}^{2}}-4}{{{y}^{2}}+2y} \right)\]

\[=\frac{\left( 2-y \right)\left( 4+2y+{{y}^{2}} \right)}{2+y}:\frac{4+2y+{{y}^{2}}}{2+y}+\frac{{{y}^{2}}}{y-2}.\frac{\left( y-2 \right).\left( y+2 \right)}{y.\left( y+2 \right)}\]

\[=\frac{\left( 2-y \right)\left( 4+2y+{{y}^{2}} \right)}{2+y}.\frac{2+y}{4+2y+{{y}^{2}}}+y\]

\[\begin{array} & =2-y+y \\ =2. \\ \end{array}\]

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Viết một bình luận