Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
-
Phương pháp giải
|
+) Khai triển rút gọn một vế sao cho bằng vế còn lại, hoặc rút gọn cả hai vế của đẳng thức đưa về cùng một biểu thức. +) Vận dụng các phép biến đổi căn bậc ba khi rút gọn biểu thức: \[A\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{{{A}^{3}}B}\] (Đưa biểu thức, thừa số vào trong căn). \[\sqrt[3]{{{A}^{3}}B}=A\sqrt[3]{B}\] (Đưa biểu thức, thừa số ra khỏi căn). \[\sqrt[3]{\frac{A}{B}}=\frac{1}{B}\sqrt[3]{A{{B}^{2}}}\left( B\ne 0 \right).\] |
Ví dụ.Rút gọn biểu thức sau \[A=\frac{\sqrt[3]{{{x}^{4}}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{4}}}}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}\]. Hướng dẫn giảiĐặt \[\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b.\] Suy ra \[A=\frac{{{a}^{4}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}\] \[\begin{array} & =\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}} \\ =\frac{\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}} \\ ={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \\ =\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}} \\ \end{array}\] |
-
Ví dụ mẫu
Ví dụ.
Chứng minh \[\frac{8-x}{2+\sqrt[3]{x}}:\left( 2+\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{2+\sqrt[3]{x}} \right)+\left( \sqrt[3]{x}+\frac{2\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-2} \right).\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{x}}=2\]
với \[x\ne \pm 8;x\ne 0.\]
Hướng dẫn giải
Đặt \[y=\sqrt[3]{x}\left( y\ne 0 \right).\]
VT\[=\frac{8-{{y}^{3}}}{2+y}:\left( 2+\frac{{{y}^{2}}}{2+y} \right)+\left( y+\frac{2y}{y-2} \right)\left( \frac{{{y}^{2}}-4}{{{y}^{2}}+2y} \right)\]
\[=\frac{\left( 2-y \right)\left( 4+2y+{{y}^{2}} \right)}{2+y}:\frac{4+2y+{{y}^{2}}}{2+y}+\frac{{{y}^{2}}}{y-2}.\frac{\left( y-2 \right).\left( y+2 \right)}{y.\left( y+2 \right)}\]
\[=\frac{\left( 2-y \right)\left( 4+2y+{{y}^{2}} \right)}{2+y}.\frac{2+y}{4+2y+{{y}^{2}}}+y\]
\[\begin{array} & =2-y+y \\ =2. \\ \end{array}\]
Vậy đẳng thức được chứng minh.