Dạng 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Phương pháp giải

Nếu \[A\ge 0\] thì ta nâng A lên lũy thừa bậc hai rồi viết kết quả vào trong dấu căn: \[A\sqrt{B}=\sqrt{{{A}^{2}}B}\] (với \[\text{A}\ge \text{0};B\ge 0\]). Nếu \[A<0\] thì ta coi A như là \[-\left( -A \right)\]. Ta nâng \[\left( -A \right)\] lên lũy thừa bậc hai rồi viết kết quả vào trong dấu căn. Còn dấu \[”-”\] vẫn để trước dấu căn: \[A\sqrt{B}=-\sqrt{{{A}^{2}}B}\] (với \[A<0;B\ge 0\]).

Ví dụ: Đưa thừa số vào trong dấu căn \[\left. a \right)\]\[3\sqrt{2}.\] \[\left. b \right)\]\[x\sqrt{2}\] với \[x<0\] \[\left. c \right)\]\[x\sqrt{x}.\] \[\left. d \right)\]\[x\sqrt{\frac{x}{y}}.\] Hướng dẫn giải \[\left. a \right)\]\[3\sqrt{2}=\sqrt{{{3}^{2}}.2}=\sqrt{9.2}=\sqrt{18}.\] \[\left. b \right)\]\[x\sqrt{2}=-\left( -x \right)\sqrt{2}=-\sqrt{2{{x}^{2}}}.\] \[\left. c \right)\] Điều kiện xác định: \[x\ge 0\] \[x\sqrt{x}=\sqrt{{{x}^{2}}.x}=\sqrt{{{x}^{3}}}.\] \[\left. d \right)\] Điều kiện xác định: \[\frac{x}{y}\ge 0.\] Trường hợp 1: \[x\ge 0,y>0,\] ta có \[x\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{{{x}^{2}}\frac{x}{y}}=\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{y}}.\] Trường hợp 2: \[x<0,y<0,\] ta có \[x\sqrt{\frac{x}{y}}=-\sqrt{{{x}^{2}}\frac{x}{y}}=-\sqrt{\frac{{{x}^{3}}}{y}}.\]

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

a) \[4\sqrt{5}.\] b) \[3\sqrt{6}.\] c) \[-2\sqrt{\frac{1}{8}}.\] d) \[-0,6\sqrt{10}.\]

Hướng dẫn giải

a) \[4\sqrt{5}=\sqrt{{{4}^{2}}.5}=\sqrt{16.5}=\sqrt{80}.\]

b) \[3\sqrt{6}=\sqrt{{{3}^{2}}.6}=\sqrt{9.6}=\sqrt{54}.\]

c) \[-2\sqrt{\frac{1}{8}}=-\sqrt{{{2}^{2}}.\frac{1}{8}}=-\sqrt{4.\frac{1}{8}}=-\sqrt{\frac{1}{2}}.\]

d) \[-0,6\sqrt{10}=-\sqrt{0,{{6}^{2}}.10}=-\sqrt{0,36.10}=-\sqrt{3,6}.\]

Ví dụ 2.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

a) \[\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{y}{x}}.\] b) \[-x\sqrt{\frac{3}{x}}.\]

c) \[{{x}^{2}}\sqrt{\frac{1}{x}}.\] d) \[x\sqrt{\frac{-9}{x}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array} & \frac{y}{x}\ge 0 \\ y\ne 0 \\ \end{array} \right..\] Ta có \[\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}\frac{y}{x}}=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}y}{{{y}^{2}}x}}=\sqrt{\frac{x}{y}}.\]

b) Điều kiện xác định: \[x>0\]. Ta có \[-x\sqrt{\frac{3}{x}}=-\sqrt{{{x}^{2}}.\frac{3}{x}}=-\sqrt{3x}.\]

c) Điều kiện xác định: \[x>0\]. Ta có \[{{x}^{2}}\sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{{{x}^{4}}.\frac{1}{x}}=\sqrt{{{x}^{3}}}.\]

d) Điều kiện xác định: \[x<0\]. Ta có \[x\sqrt{\frac{-9}{x}}=-\sqrt{{{x}^{2}}.\frac{-9}{x}}=-\sqrt{-9x}.\]